Тригонометрические формулы

И. В. Яковлев

|

Материалы по математике

|

MathUs.ru

Тригонометрические формулы
Здесь приведены все тригонометрические формулы, выведенные в предыдущих статьях,
а также некоторые важные формулы, полученные при решении тренировочных задач. Данная
статья служит справочником, к которому можно обращаться по мере надобности.

Основное тригонометрическое тождество
sin2 α + cos2 α = 1;
1
;
tg2 α + 1 =
cos2 α
1
1 + ctg2 α =
.
sin2 α

Формулы сложения
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β;
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β;
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β;
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β;
tg α + tg β
tg(α + β) =
;
1 − tg α tg β
tg α − tg β
tg(α − β) =
;
1 + tg α tg β
ctg α ctg β − 1
ctg(α + β) =
;
ctg α + ctg β
ctg α ctg β + 1
ctg(α − β) =
.
ctg β − ctg α

Формулы приведения
1. Формулы приведения c опорной точкой
π
sin
2
π
cos
2
π
tg
2
π
ctg
2
π
sin
2
π
cos
2
π
tg
2
π
ctg
2

π/2:

− α = cos α;

− α = sin α;

− α = ctg α;

− α = tg α;

+ α = cos α;

+ α = − sin α;

+ α = − ctg α;

+ α = − tg α.
1

2. Формулы приведения c опорной точкой π:
sin (π − α) = sin α;
cos (π − α) = − cos α;
tg (π − α) = − tg α;
ctg (π − α) = − ctg α;
sin (π + α) = − sin α;
cos (π + α) = − cos α;
tg (π + α) = tg α;
ctg (π + α) = ctg α.
3. Формулы приведения c опорной точкой 3π/2:


3π
sin
− α = − cos α;
2


3π
− α = − sin α;
cos
2


3π
tg
− α = ctg α;
2


3π
ctg
− α = tg α;
2


3π
+ α = − cos α;
sin
2


3π
cos
+ α = sin α;
2


3π
tg
+ α = − ctg α;
2


3π
+ α = − tg α.
ctg
2
4. Формулы приведения c опорной точкой 2π:
sin (2π − α) = − sin α;
cos (2π − α) = cos α;
tg (2π − α) = − tg α;
ctg (2π − α) = − ctg α;
sin (2π + α) = sin α;
cos (2π + α) = cos α;
tg (2π + α) = tg α;
ctg (2π + α) = ctg α.

2

Формулы двойного угла
sin 2α = 2 sin α cos α;
cos 2α = cos2 α − sin2 α;
cos 2α = 2 cos2 α − 1;
cos 2α = 1 − 2 sin2 α;
2 tg α
tg 2α =
;
1 − tg2 α
ctg2 α − 1
ctg 2α =
.
2 ctg α

Формулы тройного угла
sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α;
cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α;
3 tg α − tg3 α
tg 3α =
.
1 − 3 tg2 α

Формулы понижения степени
1 + cos 2α
;
2
1 − cos 2α
.
sin2 α =
2

cos2 α =

Формулы тангенса половинного угла
1 − cos α
α
=
;
2
1 + cos α
α
1 − cos α
tg =
;
2
sin α
α
sin α
tg =
.
2
1 + cos α
tg2

Универсальная подстановка
2 tg α2
sin α =
;
1 + tg2 α2
1 − tg2 α2
cos α =
;
1 + tg2 α2
2 tg α2
tg α =
;
1 − tg2 α2
1 − tg2 α2
ctg α =
.
2 tg α2

3

Суммы и произведения тригонометрических функций
α−β
α+β
cos
,
2
2
α−β
α+β
sin α − sin β = 2 sin
cos
,
2
2
α+β
α−β
cos α + cos β = 2 cos
cos
,
2
2
β−α
α+β
sin
;
cos α − cos β = 2 sin
2
2
sin(α + β)
tg α + tg β =
;
cos α cos β
sin(α − β)
;
tg α − tg β =
cos α cos β
sin(α + β)
ctg α + ctg β =
;
sin α sin β
sin(β − α)
ctg α − ctg β =
;
sin α sin β
cos(α − β)
tg α + ctg β =
;
cos α sin β
cos(α + β)
ctg α − tg β =
;
sin α cos β
2 cos α cos β = cos(α + β) + cos(α − β);
2 sin α sin β = cos(α − β) − cos(α + β);
2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β).
sin α + sin β = 2 sin

4