Глава I
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И. А. БУНИНА»

Г.Г. Ельчанинова, Р.А. Мельников

Тригонометрия
Методика изучения и решения задач
Учебно-методическое пособие

Елец – 2018

1

Глава I

УДК 378.02:372.8
ББК 74.262.21
Е 59
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Елецкого государственного университета имени И.А. Бунина
от 29. 01. 2018 г., протокол № 1
Рецензенты:
Масина Ольга Николаевна – доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой математического моделирования и компьютерных технологий (Елецкий государственный университет им.
И. А. Бунина, Елец).
Томилова Анна Евгеньевна – кандидат педагогических наук, доцент
кафедры экспериментальной математики и информатизации образования
(ФГАОУ ВО Северный (Арктический) федеральный университет им.
М. В. Ломоносова)

Г.Г. Ельчанинова, Р.А. Мельников
Е 59 Тригонометрия. Методика изучения и решения задач: учебнометодическое пособие. – Елец: Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2018. – 100 с.
Основная цель учебного пособия – оказать помощь студентам в подготовке к занятиям по дисциплине «Элементарная математика», в написании курсовой и выпускной квалификационной работы.
Пособие предназначено, в первую очередь, для студентов физикоматематического отделения института математики, естествознания и техники.
Данное издание может полезно преподавателям вузов, а также использоваться учителями средних школ для разработки элективных курсов.
УДК 511.1
ББК 22.1
© Елецкий государственный
университет им. И.А. Бунина, 2018

2

Глава I

ГЛАВА I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ОСТРОГО И ПРОИЗВОЛЬНОГО УГЛОВ
§ 1.1. Углы
Напомним следующие определения из школьного курса геометрии:
Два луча, выходящие из одной точки, образуют фигуру, которая
называется углом.
Угол называется острым, если его градусная мера заключена между
значениями 0◦ и 90◦.
Угол является прямым, если он равен 90◦.
Угол называется тупым, если его градусная мера заключена между 90◦
и 180◦.
Угол называется развернутым, если он равен 180◦.

Пока мы будем рассматривать только такие углы, так как сначала мы
будем давать определения тригонометрических величин, исходя из
понятия «треугольник», одним из компонентов этой простейшей
геометрической является угол.
§ 1.2.Тригонометрические функции острого угла
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (Рис. 1.2.1) и введѐм обозначения: AB=c, BC=a, AC=b.
Напомним, что если в прямоугольном треугольнике отмечен острый угол, то
катет, лежащий напротив этого угла, называется противолежащим катетом, а катет, являющийся одной из сторон угла, называют прилежащим катетом.
Тригонометрические функции острого угла (  или  )

Синусом

острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
a
b
Пишут: sin  = или sin  = .
c
c
3

Глава I

Косинусом

острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
b
a
Пишут: cos = или cos  = .
c
c
Ясно, что при этом выполняется равенство     90 (сумма острых
углов прямоугольного треугольника равна 90◦), то, очевидно,
sin =cos  , а также cos =sin  .

Тангенсом

острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
a
b
Пишут: tg = или tg  = .
b
a
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется
отношение прилежащего катета к противолежащему катету.
a
b
Пишут: ctg = или ctg  = .
b
a
Очевидно, что имеют место равенства tg =ctg  , а также
ctg =tg  .
Кроме введѐнных четырѐх тригонометрических функций (их
называют основными тригонометрическими функциями) можно
рассмотреть ещѐ две функции секанс и косеканс.
Секансом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение гипотенузы к прилежащему катету.
c
c
Пишут: sec = или sec  = .
b
a
Косекансом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение гипотенузы к противолежащему катету.
c
c
Пишут: cosec = или cosec  = .
a
b
Из определений тригонометрических функций следует, что:
sin 
tg =
,
(1.2.1)
cos 
cos 
ctg =
.
(1.2.2)
sin 
Далее можем получить формулы, выражающие связь тангенса и
котангенса одного и того же острого угла прямоугольного треугольника:
sin 
1
1
tg =


,
cos

(1.2.3)
cos 
ctg 
sin 

4

Глава I

ctg =

cos 
1
1


.
sin 
sin 
tg 
cos 

(1.2.4)

Из формул (1.2.3) и (1.2.4) непосредственно вытекает формула
tg   ctg  =1 .
(1.2.5)
Далее применим к треугольнику ABC теорему Пифагора. Имеем
равенство
a 2  b2  c 2 .
Разделим обе его части на c 2 . Получим
a 2 b2
  1.
c2 c2
a
= sin  и b =cos  , то последнее равенство можно
Так как
c
c
переписать в виде
2
2
 sin    cos    1
или
(1.2.6)
sin 2  cos 2   1.
Равенство (1.2.6) называют основным тригонометрическим
тождеством.
Разделим обе части основного тригонометрического тождества на
cos 2  и sin 2 соответственно, получим такие формулы:
1  tg 2 

1
cos 2 

,

(1.2.7)

1
.
(1.2.8)
sin2 
Легко заметить, что функция секанс непосредственно связана с
косинусом, а функция косеканс – с синусом следующими соотношениями:
1  ctg 2 

sec  

1
cos 

,

(1.2.9)

1
.
(1.2.10)
sin
Используя соотношения (1.2.9) и (1.2.10) формулы (1.2.7) и (1.2.8)
можно соответственно переписать в виде:
(1.2.11)
1  tg 2  sec 2  ,
cos ec  

1  ctg 2  cosec2 .

(1.2.12)
Отметим, что две последние формулы можно переписать в ином
виде, роднящем их с основным тригонометрическим тождеством:
(1.2.11*)
sec 2   tg 2  1 ,

cosec2  ctg 2  1 .
5

(1.2.12*)

Глава I

 Заметим теперь, что названия тригонометрических функций попарно
созвучны и отличаются лишь наличием или отсутствием приставки «ко».
По этой причине тригонометрические функции можно разбить на две
группы: без приставки «ко» (условимся называть их основными
тригонометрическими функциями) и содержащие приставку «ко» (будем
назвать их дополнительными тригонометрическими функциями).
Представим это в виде схемы.

Название «косинус» представляет собой сокращение термина complementi sinus (синус дополнения), выражающего тот факт, что cos  равен
синусу угла, дополнительного к  (т.е. составляет в сумме с ним угол,
равный 900). По такому же принципу образованы названия «котангенс»
(тангенс дополнения) и «косеканс» (секанс дополнения).
Основные и дополнительные тригонометрические функции образуют
две группы (по три в каждой) функций. Каждую группу функций по
отношению к другой, будем называть «ко-функциями».
§ 1.3.Тригонометрические функции дополнительных углов

Два

острых угла, в сумме составляющих прямой угол называются
дополнительными.
Очевидно, что острые углы прямоугольного треугольника являются
дополнительными по отношению друг к другу.

Рис. 1.3.1
Если в прямоугольном треугольнике  ABC ( С  90 ), острый угол
BAС   , то второй острый угол  ABС  90   .
Из Рис. 1.3.1 имеем
6

Глава I
sin  90    

b
 cos  ,
c
a
cos  90      sin  ,
c

т.е. синус одного из двух острых углов равен косинусу другого угла.
Аналогично,
tg  90    

b
 ctg ,
a
a
ctg  90      tg ,
b

т.е. тангенс одного из двух острых углов прямоугольного треугольника
равен котангенсу другого угла.
Кроме того
sec  90    

c
 cos ec  ,
a
c
co sec  90      s ec  .
b

Заключаем, что секанс одного из двух острых углов прямоугольного
треугольника равен косекансу другого угла.






Например, sin11  cos 79 , tg 51  ctg 39 , sec 27  cosec 63 .
§ 1.4. Значения тригонометрических функций углов 30◦, 45◦, 60◦
Прежде всего, заметим, что в прямоугольном треугольнике
отношение двух его сторон зависит только от величины одного из острых
углов и не зависит от линейных размеров сторон.
Если изменить угол, то изменится отношение;
если изменить отношение, то изменится угол.
Для каждого угла такое отношение
постоянно, что легко доказать, используя подобие
треугольников ABC и AB1C1 (Рис. 1.4.1).
Поэтому
числовые
значения
тригонометрических функций
острых
углов, найденные,
например, для треугольника с
гипотенузой, равной единице,
будут такими же и для любого
другого треугольника с теми
же острыми углами.
Учитывая этот факт, при
нахождении значений тригонометрических функций

7

Глава I

1
часть плоского прямого угла]
90
будем, для удобства, рассматривать прямоугольный треугольник с
гипотенузой, равной единице.
При таком выборе треугольника противолежащий катет будет равен
синусу угла, а прилежащий – косинусу угла.
Итак, рассмотрим сначала равнобедренный прямоугольный
треугольник ABC (Рис. 1.4.2). Оба острых угла рассматриваемого
треугольника равны по 45◦. А так как CB = CA, то по теореме Пифагора
2
CB2  CA2  1. Значит, 2CA2  1 , откуда CB = CA=
.
2
2
Таким образом, sin45 = cos 45 =
.
2


Следовательно, tg45 =ctg 45 =1 .
Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с острыми углами
◦
30 и 60◦ (Рис. 1.4.3).
Известно, что катет, лежащий
против угла в 30◦, равен половине
1
гипотенузы. Поэтому BC=
и по
2
3
2
теореме Пифагора CA= 12   21  
.
2
1
Отсюда
следует,
что
sin 30  ,
2
3
1
3
cos 30 
, tg 30 
, ctg 30  3 .

2
3
3
С другой стороны, катет CA, лежащий против угла 60◦, – это синус
3
этого угла, а катет CB – косинус угла. Таким образом, sin 60 
,
2
1
3
1
.
cos 60  , tg 60  3 , ctg 60 

2
3
3
Обратим внимание на тот факт, что углы 30◦ и 60◦, а также два угла
по 45◦ являются частными случаями, так называемых, взаимно
дополнительных углов (см. § 1.3.).
Для удобства запоминания значений синуса углов 30 ◦, 45◦, 60◦ (а
также 0◦ и 90◦) можно использовать правило ладони.
Если присвоить каждому из пальцев ладони номер и сопоставить
угол (см. Рис. 1.4.4), то для нахождения синуса каждого из этих углов
углов 30◦, 45◦, 60◦ [1 градус (1◦) – это

8

Глава I

достаточно извлечь квадратный корень из номера пальца, сопоставленного
углу, и полученный результат разделить на два.
n
Итак, sin 
.
2

Рис. 1.4.4
Запишем результаты, получаемые с помощью этой формулы и
Рис. 1.4.4 в виде таблицы.
Номер и название
n=№
Угол
sin
пальца ладони
№0 – Мизинец
0
n=0
00
sin 0 
0
2
№1 – Безымянный
1 1
n=1
300
sin 30 

2 2
№2 – Средний
2
n=2
450
sin 45 
2
№3 – Указательный
3
n=3
600
sin 60 
2
№4 – Большой
4
n=4
900
sin 90 
1
2
Замечание. С помощью «правила ладони» можно находить и
значения косинусов тех же самых углов. Для этого надо начать нумерацию
пальцев не с мизинца, а с большого пальца.

9

Глава I

§ 1.5. Угол как мера поворота подвижного луча вокруг данной точки
Любой угол AOB , как геометрическую фигуру можно получить в
результате вращения подвижного луча вокруг вершины О от начальной
стороны ОА угла до его конечной стороны ОВ. Тогда величину поворота,
совершенного этим лучом, измеряют величиной угла, который образуют
лучи ОА и ОВ. Луч ОА называют началом отсчета угла, а о луче ОВ
говорят, что он определяет угол поворота.
Угол называется положительным, если он образован поворотом луча
против хода часовой стрелки, и отрицательным, если он образован
поворотом луча по ходу часовой стрелки.
Обозначим через 
наименьший неотрицательный угол,
образованный лучами ОА и ОВ (Рис. 1.5.1).

Если луч ОВ совершает дополнительно полный оборот вокруг точки
О против хода часовой стрелки (такой поворот считают поворотом на
3600), то получаем другую величину угла, равную   360 . А тогда ясно,
что любой угол поворота  , определяемый лучом ОВ, можно представить
в виде
    360  n ,
где 0    360 , а n  Z .
 На практике уже более трех тысяч лет
за единицу измерения величины угла
принята

1
часть полного оборота, ко360

торую называют градусом.
В технике за единицу измерения
углов принимают полный оборот.
В мореплавании за единицу измерения углов принят румб, равный
части полного оборота.

10

1
32

Глава I

В артиллерии за единицу измерения углов принята

1
часть полного
60

оборота, которую называют большим делением угломера1 (0,01 часть
большого деления угломера называют малым делением угломера).
§ 1.6. Тригонометрическая окружность
Градусная мера измерения углов привычна, но не является
единственной. Существует ещѐ радианное измерение углов.
Введение радианной (впрочем, как и градусной) меры основано на
следующем утверждении:
отношение длины дуги, на которую данный центральный угол
опирается, к радиусу окружности определяется лишь только данным
углом и не зависят от величины радиуса.
Введѐм на плоскости прямоугольную систему координат xOy и
рассмотрим единичную окружность,
т.е. окружность с центром в некоторой
точке О и с радиусом, равным единице
масштаба. Выберем на этой окружности некоторую точку А (1;0) (см. Рис.
1.6.1), лежащей на этой окружности,
называемой «началом отсчѐта» (не путать с началом координат).
Направление обхода по окружности против хода (по ходу) часовой
стрелки будем называть положительным (отрицательным) направлением обхода.
Введѐнную таким образом окружность называют тригонометрической
окружностью, а круг, который она ограничивает, – тригонометрическим кругом.
По аналогии с числовой прямой каждому числу    0; 2  поставим
в соответствие точку Pα данной единичной окружности такую, что длина
дуги АPα равна α, причем дуга АPα откладывается от точки А против часовой стрелки. Числу 0 и числу 2π поставим в соответствие точку А. Таким
образом, между точками единичной окружности и числами промежутка [0;
2π) установлена взаимно однозначное соответствие.
Число α называется радианной мерой дуги АPα и соответственно угла
АОPα.
Из формулы для вычисления длины дуги окружности следует формула, связывающая радианную и градусную меры угла.
1

Угломер – устройство для измерения углов (см. Рис. 1.5.2)

11

Глава I

Действительно, если α – длина дуги единичной окружности, градусная мера которой равна β, то





180

 .

(1.6.1)

180
180
 571745 . Дуга
Итак, дуга в 1 радиан содержит
градусов:




 0,0175 .
в 1° содержит
радиан:
180
180
Пример 1.6.1. Найти радианную меру углов 1200; 3200.

Решение. Так как 1 
, то:
180

2
120 
 120 
,
180
3

16
320 
 320 
.
180
9
Для перевода меры угла из градусной в радианную и обратно существуют таблицы (например, В. М. Брадис, Четырехзначные математические
таблицы).
Приведем таблицу для углов и дуг, которые встречаются наиболее часто.
Градусы
Радианы

360° 180° 90° 60° 45° 30° 18° 15° 10°
2π

π





2

3


4


6


10


12


18

1°


β°


180 180



Снова рассмотрим единичную окружность с выбранной точкой А
(Рис. 1.6.1).
Каждому числу    2 ; 0  поставим в соответствие точку Pα данной единичной окружности
такую, что длина дуги АPα равна |α| и дуга АPα откладывается от точки А по часовой стрелке
(Рис. 1.6.2). Числу – 2π поставим в соответствие
точку А.
Произвольное число α представим следующим образом:   0  2k , где k – некоторое целое число, а  0  2 ; 2  . Заметим, что для любого α такое представление возможно. Теперь числу α поставим в соответствие ту же точку, что и
числу α0, т. е. точки Pα и P 0 совпадают.
12

Глава I

Таким образом, выше построено соответствие между действительными числами и точками единичной окружности. Из самого построения
этого соответствия следует, что точки P 2 , P 2 , P совпадают. То есть,
единичная окружность – это числовая ось в виде тончайшей нерастяжимой
нити, мысленно «намотанная» своим положительным лучом на окружность против часовой стрелки.
О точке Pα говорят, что она получается из точки А поворотом на |α| радиан против часовой стрелки, если α> 0, и по часовой стрелке, если α< 0.
§ 1.7. Тригонометрические функции произвольного аргумента
В предыдущем параграфе было установлено взаимно однозначное
соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством точек единичной окружности. Каждому действительному числу α поставлена в соответствие точка Pα единичной
окружности.
Синусом произвольного угла (числа)
 называется ордината точки Pα единичной окружности, т.е.
sin  y .
Действительно, исходя из определения синуса, приведѐнного в § 1.2. синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе, т.е.
y
y
sin =     y .
OP
1

Косинусом произвольного угла (числа) 
единичной окружности, т.е.

называется абсцисса точки Pα

cos   x .
Итак, синус и косинус числа (угла) определяются соответственно как
ордината и абсцисса точки P , полученной поворотом точки P0 1;0 вокруг
начала координат на угол  радиан (градусов).
Определения синуса и косинуса носят геометрический характер, так
как получаются из прямоугольного треугольника как отношение соответствующих катетов к гипотенузе.
13
Пример 1.7.1. Найти синус числа    .
6
13

   2 , то этому соответствует та же точка P,
Решение. Так как
6
6

13

Глава I

что и числу


. Опустим из точки P перпендикуляр PM на ось Ох. Тогда
6

имеем |РМ| = у. В прямоугольном треугольнике РОМ длина гипотенузы
ОМ равна 1 (так как окружность единичная), длина катета РМ равна

1
2

(как катет, лежащий против угла в 30º). Следовательно, ордината точки М
13
 0,5 .
равна числу 0,5, т. е. у = 0,5. Таким образом, sin
6
Пример 1.7.2. Найти sin 1,17.
Решение. Воспользуемся книгой «Четырехзначные математические
таблицы» В. М. Брадиса: sin 1,17 ≈ 0,9208 (Стр. 62).
Что касается тангенса и котангенса, то их можно определить алгебраически через отношение:
sin

tg 
,     n , nZ ;
(1.7.1)
2
cos 
cos 
ctg 
,   k , k Z .
(1.7.2)
sin
sin 

Тангенсом угла (числа) α называется отношение
,   n.
2
cos 
cos 
Котангенсом угла (числа) α называется отношение
,   k .
sin 
Во многих случаях геометрические определения более удобны для
использования. Поэтому рассмотрим геометрическую интерпретацию определений тангенса и котангенса.
1) Пусть дана единичная окружность. Проведем касательную l к ней
в точке P0 (Рис.1.7.1). Если  - произвольное число такое, что cos   0 ,

т.е.     n , n  Z , то прямые l и OP пересекаются. Найдем координа2
ты точки T пересечения прямых.
Прямая l задается уравнением x  1 . Прямая OP проходит через начало координат  0; 0  и точку P  cos  ;sin  . Поэтому ее уравнение имеет вид: y   tg   x .
 x 1
Решая систему 
, находим координаты точки T : 1;tg  .
 y  x  tg
Выберем на прямой l направление, совпадающее с направлением оси ординат, начало отсчета – точку P0 ( tg 0  0 ) и единичный отрезок, равный
единичному отрезку основной системы координат. Получим координатную прямую – ось тангенсов. Тогда можно сформулировать следующее
определение.

14

Глава I

угла (числа)  называется координата на оси тангенсов
точки пересечения оси тангенсов и прямой OP , где O – начало координат, P – точка, полученная поворотом точки 1; 0  вокруг начала координат на угол  .
3
Пример 1.7.3. Найти tg .
4
3
Решение. Числу
на числовой окружности соответствует точка P, кото-

Тангенсом

4

рая является концом дуги в 135°. Опустим из
точки P перпендикуляр на ось Ох. Треугольник
OPM прямоугольный и равнобедренный (дополнительный угол равен 45°). Координатами
2
2
точки P будут числа: x  
, y
.
2
2
Следовательно,
2 
2
3 y

tg
= 
  1 .
x
2  2 
4
2) По аналогии с осью
тангенсов получим ось котангенсов. Проведем касательную
m к единичной окружности в
точке P (Рис. 1.7.3). Выберем
2

на прямой m направление, совпадающее с направлением оси
абсцисс, начало отсчета – точку



 0 ) и единичный от2
резок, равный единичному отрезку основной системы координат. Можно
сформулировать следующее определение.
 Котангенсом угла (числа)  называется координата на оси котангенсов точки пересечения оси котангенсов и прямой OP , где O - начало
координат, P - точка, полученная поворотом точки 1; 0  вокруг начала
координат на угол  .
1

 Секансом угла (числа) α называется отношение
,   n.
2
cos 
1
 Косекансом угла (числа) α называется отношение
,   k .
sin 
P ( ctg
2

15

Глава I

На Рис. 1.7.4 и Рис. 1.7.5 изображен тригонометрический круг, на
который нанесены наиболее часто встречающиеся углы (в радианах) а
также показаны значения основных тригонометрических функций (синуса,
косинуса, тангенса и котангенса).

§ 1.8. Знаки тригонометрических функций
Прежде всего, напомним, что угол α принадлежит:
1) первой (I) координатной четверти, если 0    90 ;
2) второй (II) координатной четверти, если 90    180 ;
3) третьей (III) координатной четверти, если 180    270 ;
4) четвертой (IV) координатной четверти, если 270    360 .
Чтобы определить знаки тригонометрических функций синус,
косинус,
тангенс,
котангенс,
секанс,
косеканс
воспользуемся
определениями этих функций из предыдущего параграфа.
1) Так из определения синуса произвольного угла α следует, что
sin  y (ордината точки P на единичной окружности, соответствующая
углу α). Поэтому sin  0 , если точка P лежит выше оси абсцисс (т.е. в I
и II координатных четвертях), и sin  0, если точка P лежит ниже оси
абсцисс (т.е. в III и IV координатных четвертях).
2) Аналогично, из определения косинуса произвольного угла:
OB x
cos  

 x .
OP
1
Значит, cos   0 в тех четвертях, где абсцисса точки P
положительна (т.е. т.е. в I и IV координатных четвертях), соответственно
cos   0 будет во II и III координатных четвертях.
16

Глава I

Рис. 1.8.1
3) Что касается знаков тангенса и котангенса, то из определений этих
функций следует, что как тангенс, так и котангенс положительны, когда
синус и косинус имеют одинаковые знаки (т.е. в I и III координатных
четвертях) и отрицательны, когда синус и косинус имеют разные знаки
(т.е. во II и IV координатных четвертях).
4) Для определения знака секанса достаточно вспомнить, что
1

sec  
,     n , т.е. его совпадает со знаком косинуса, а т.к.
2
cos 
1
cos ec 
,    k , то знак косеканса совпадает со знаком синуса.
sin
Схематическое распределение знаков по координатным четвертям
представлено на Рис. 1.8.1.
§ 1.9. Чѐтность и нечѐтность тригонометрических функций
Перейдѐм к рассмотрению такого
свойства тригонометрических функций, как
чѐтность.
OBP , в
Рассмотрим треугольник
котором угол BOP   (см. Рис. 1.9.1). Тогда
BP
y
sin  -        y   sin ,
OP
1
а это означает нечѐтность синуса.
Далее
OB
x
cos  -  
   x  cos  ,
OP
1
что свидетельствует о чѐтности косинуса.
Теперь рассмотрим этот же вопрос для тангенса и котангенса:
17

Глава I

sin  -   sin
sin


 tg ,
cos  -  cos 
cos 
1
1
1
ctg  - = 


 ctg .
tg  -  tg
tg
Полученные результаты говорят о том, что тангенс и котангенс обладают свойством нечѐтности.
Исследуем теперь на чѐтность и нечѐтность секанс и косеканс.
1
1
sec  - = 

 sec  ,
cos  -  cos 
1
1
1
cosec  - = 


  cos ec  .
sin  -   sin
sin
Таким образом, секанс обладает свойством чѐтности, а косеканс нечѐтен. Представим полученные результаты в виде схемы
tg  - = 

§ 1.10. Периодичность тригонометрических функций

Функция

f ( x ) называется периодической, если она задана на периодическом множестве и существует хотя бы одно число l  0 , такое, что x
значения функции f ( x ) в точках x, x  l, x  l равны.

Графиком периодической функции является такая линия, у которой
можно выделить некоторый участок (звено), который затем «повторяется»
бесконечное множество раз.
Уравнение, содержащее периодическую функцию, как правило, имеет бесконечно много корней (бывают случаи, когда множество решений
пусто).
Тригонометрические функции являются периодическими функциями.
 Число 2π является наименьшим положительным периодом для синуса, косинуса, секанса и косеканса.
18

Глава I

Действительно, справедливость этого утверждения следует непосредственно из того, что значение тригонометрических функций определяются с помощью координат вращающейся точки.
Но при вращении этой точки по единичной окружности через каждый оборот она занимает то же самое положение, и, как известно, полный
оборот точка совершает тогда, когда приращение аргумента равно 2π.
Следовательно, для точки, совершающей n полных оборотов, справедливы формулы
sin (t +2πn) = sint,
cos (t +2πn) =cost,
sec (t +2πn) = sect,
cosec (t +2πn) = cosect.
Докажем,
что
никаких
других
периодов
функции
y  cos x и y  sin x не имеют.
Действительно, число l  0 служит периодом функции y  cos x только в том случае, если имеет место тождество: cos( x  l )  cos x или
l
l
l


cos( x  l )  cos x  0 . Тогда 2 sin  x    sin  0 . Т.к. sin  x   не ра2
2
2


l
вен тождественно нулю, то sin  0, l  2k . Что и требовалось дока2
зать.
 Число π является наименьшим положительным периодом для тангенса и котангенса.
Пример 1.10.1. С помощью свойства периодичности синуса преобразовать sin 2672° к более простому виду.
Решение.
sin 2672° = sin (152°+7·360°)= sin 152°.
7

11
sin
 cos  tg
3
3
6 .
Пример 1.10.2. Найти значение выражения
25
13
3
cos   ctg
 sin
6
4
2
Решение. Для краткости записей обозначим данное выражение буквой А и выразим все углы через углы, находящиеся в пределах одного оборота точки P0 . Далее, используя свойства периодичности, а также чѐтности
и нечѐтности соответствующих функций, получим:





7

11
sin  2    cos  tg  2  
sin
 cos  tg
3
3
6


3
3
6 
A

25
13
3






cos   ctg
 sin
cos  4    ctg  3    sin  2  
6
4
2
6
4
2




19

Глава I

 
3 1
3
 tg   
 
3
3
 6   2 2 3  3 3 .


    
3
3 3
cos  ctg   sin   
 1   1
6
4  2
2
sin

А=



 cos



Таким

образом,

3 3
.
3 3

§ 1.11. Формулы приведения
Формулами приведения называют формулы, выражающие значения
тригонометрических функций углов вида:

3
  ,  90    ;    ,180    ;
  ,  270    ; 2   ,  360    ;
2
2
через функции угла α из первой координатной четверти. То есть, формулы
приведения позволяют упростить выражение за счѐт замены присутствующего в нѐм угла углом первой четверти, нахождение значений тригонометрических функций для которого не представляет проблемы.
Выводятся формулы приведения
разными
способами.
Мы
же
остановимся
на
следующих
соображениях.
Отметим
на
тригонометрической окружности (Рис.
1.11.1) точки:
A , A  , A  ,A  ,
2
2
A  ,A
,A
,A
3  3  2  ,
2
2
соответствующие углам:

,



2

 ,



2

  ,   ,

3
3
 ,
  , 2  
2
2
Справедливость равенств






sin      cos  , cos      sin  , а также tg      ctg ,
2

2

2



ctg      tg вытекает непосредственно из факта, установленного в
2

§ 1.3, касавшегося свойств дополнительных углов.
Далее заметим, что точки A и A  симметричны относительно
оси ординат, следовательно, синусы соответствующих им углов равны, т.е.

 ,

20

Глава I
sin      sin .
В то же время косинусы этих углов отличаются знаком, т.к. точки
A и A  имеют равные по модулю, но разные по знаку абсциссы, поэтому
cos       cos  .
Аналогично доказывается справедливость всех остальных формул
приведения для функций синус и косинус. Формулы приведения для тангенса, котангенса, секанса и косеканса являются следствиями формул приведения для синуса и косинуса.
sin    
sin
sin
Например, tg     


 tg ,
cos      cos 
cos 
1
1
1
sec     


  sec .
cos      cos 
cos 
Результаты формул приведения можно собрать в таблицу.
Таблица №1. Формулы приведения
3


3

Функ


 
2  
 
2
ция
2
2
2

sin

cos 

cos 

cos

sin

 sin

tg

ctg

ctg

ctg

tg

tg

sec
cosec

 cos 

 cos 

 sin

sin

cos 

tg

tg

ctg

ctg

tg

ctg

ctg

tg

tg

ctg

 cos 

cosec cosec
 sec
sec

sec

 cos 

 sin

sin

 sec

cosec cosec

cosec cosec
 sec

 sec

 sin

sec
cosec

Если в процессе решения какой-либо задачи возникает потребность
применить формулы приведения, то нет необходимости помнить вывод
этой формулы и знания соответствующей ячейки из Таблицы №1. Каждую
формулу приведения легко восстановить, если воспользоваться следующим правилом, называемым мнемоническим2 правилом:
1) Если угол откладывается от горизонтальной оси, т.е. углы вида:
   , 180    ; 2   ,  360    ; ,
2

Происходит от греческого слова мнемоника (μνημονικόν –искусство запоминания)

21

Глава I

то название приводимой (преобразуемой) функции сохраняется. Если же
угол откладывается от вертикальной оси, т.е. углы вида:

3
  ,  90    ;
  ,  270    ;  ,
2
2
то название приводимой функции меняется на «ко-функцию».
2) Знак перед приведенной (преобразованной) функцией ставится такой, каков знак приводимой функции в соответствующей четверти, если
считать угол α острым.
Таким образом, при использовании формул приведения надо следить
за двумя моментами: меняется ли название функции или нет, а также меняется ли знак результата приведения или нет.
Пример 1.11.1. Найти значение cos 315°.
Решение. cos 315° = cos (270° + 45°), т.е. угол откладывается от вертикальной оси. Значит, косинус следует заменить на синус 45°.
Так как угол 315° находится в IV координатной четверти, где приводимая функция косинус принимает положительные значения, то перед результатом приведения следует сохранить знак +.
Итак,
2
2
cos 315° = cos (270° + 45°) = sin 45° =
.Ответ:
.
2
2
Пример 1.11.2. Упростить выражение




cos      sin      tg    
2

2

.


ctg      sin    
2

Решение.




cos      sin      tg    
2
2








ctg      sin    
2






sin  cos    tg 
 cos  .Ответ: cos  .
tg  sin

22

Глава I

§ 1.12. Тригонометрические функции действительного аргумента,
их свойства и графики
К
тригонометрическим
функциям
относятся:
y  sin x, y  cos x, y  tgx , y  ctgx , y  sec x, y  cosec x .
Происхождение названий тригонометрических функций связано с их
геометрическим представлением как отрезков (лат. синус – кривизна, тангенс – касающийся, секанс – секущая).
Рассмотрим основные свойства каждой из них.
I) y  sin x
1) D( y)  R ;
2) E( y)  1;1;
3) функция нечѐтная, график симметричен относительно начала координат;
4) функция периодическая с периодом T0  2 ;

 

5) функция
возрастает
на
убывает
на
   2 n;  2 n  ,
2
 2

3


  2 n;  2 n  ,n  Z ;
2
2

6) max y  1 при x 



 2 n , min y  1 при x    2 n,n  Z ;
2
2

7) y  0 при x   n,n  Z ;
8) y  cos x ;
9) График – синусоида.

II) y  cos x
1)
2)
3)
4)

D( y )  R ;
E( y )   1;1 ;
функция чѐтная, график симметричен относительно оси Оy;
функция периодическая с периодом T0  2 ;

23

Глава I

5) функция
возрастает
на
убывает
   2 n; 2 n  ,
 2 n;  2 n  ,n  Z ;
6) max y  1 при x  2 n , min y  1 при x    2 n,n  Z ;
7) y  0 при x 

на


  n,n  Z ;
2

8) y   sin x ;
9) График – косинусоида.

III) y  tgx




1) D( y )   x / x    n  ;
2


2) E( y )  R ;
3) функция нечѐтная, график симметричен относительно начала координат;
4) функция периодическая с периодом T0   ;

 

5) функция возрастает на     n;   n  ,n  Z , то есть на всей области
2
 2

определения;
6) экстремумов нет;
7) y  0 при x   n,n  Z ;
1
8) y 
;
cos 2 x
9) График – тангенсоида.

24

Глава I

IV) y  ctg x

1) D( y )  x / x   n ;
2) E( y )  R ;
3) функция нечѐтная, график симметричен относительно начала координат;
4) функция периодическая с периодом T0   ;
5) функция убывает на  n;   n  ,n  Z , то есть на всей
области определения;
6) экстремумов нет;
7) y  0 при x 
8) y  


  n,n  Z ;
2

1
;
2
sin x

9) График – котангенсоида.

1)
2)
3)
4)
5)

V) y  sec x



D( y )   x / x    n  ;
2


E( y )   ; 1  1;   ;
функция чѐтная, график симметричен относительно Oy;
функция периодическая с периодом T0  2 ;
функция возрастает на  2 n;   2 n      2 n;  2 n  , функция убывает на



2





2






  
;
   2 n;   2 n      2 n;2 n 
2
2

 


6) max y  1 при x    2 n , min y  1 при x  2 n,n  Z ;
7)
8) y  0 ;

 1  sin x
 tg x  sec x ;
9) y  
 
2
cos
x
cos
x


10) График – секансоида.

25

Глава I

VI) y  co sec x
1) D( y )  x / x   n ;
2) E( y )   ; 1  1;   ;
3) функция нечѐтная, график симметричен относительно начала координат;
4) функция периодическая с периодом T0  2 ;
5) функция возрастает на    2 n;  2 n      2 n; 3  2 n  , убывает на
2
2
 


 