Ықтималдықты есептеуде комбинаторика формулаларын қолдану.

«Комбинаторика» (латын тілінен аударғанда «combino» – «байланыстырамын» дегенді білдіреді) ұғымы XVI ғасырда пайда болған. Комбинаториканың теориялық ғылым ретінде қалыптасуына Я.Бернулли, П. Ферма, Г.В.Лейбниц сияқты атақты математиктердің қосқан үлесі зор. XVII ғасырдың өзінде қазіргі кездегі «мектеп» комбинаторикасының барлық формулалары белгілі болды.

Комбинаторика - берілген жиындағы элементтерден қандай да бір шартқа бағынатын әртүрлі бірнеше комбинация құрастыру мүмкіндігін қарастыратын математиканың саласы.

Комбинаторика – математика тарауларының бірі. Мұнда шекті жиын элементтерінің түрлі қосылыстары, басқаша айтқанда, әр қилы конфигурациялары қарастырылып, олардың сандары саналады және де есептеледі.

Теориялық зерттеу тұрғысынан алғанда комбинаторика алғаш рет ХVII ғасырдағы Паскаль, Ферма, Лейбниц және ХVIIІ ғасырдағы Я.Бернулли, Эйлер еңбектерінде қарастырылған. Ұлы математикатердің бұл шығармаларында комбинаторкалардың кездесуі бір жағынан алғанда тұрмыстың сан алуан мұқтаждарына байланысты болса, ал екінші жағынан алғанда, математиканың өз ішіндегі дамуларымен ұштасып жатыр.

Қазіргі кезде комбинаторика математика салаларының ішінде өте жедел дамып отырған бөлігіне айналды. Бұған себеп болып отырған бұл теорияның электрондық есептегіш машиналарға, информация мен ықтималдықтар теорияларына кеңінен қолданылуы. Дискреттік деп аталып жүрген математиканың өзінде де көп ықпалын тигізген, міне, осы қосылыстар теориясы. Шешуі: «нешеу», «неше тәсілмен» деген сұрауларға жауап беруді қажет ететін есептер комбинаторлық есептер делінеді. Мұндай есептерді шешумен айналысатын математика саласы комбинаторика деп аталады.

Кейінгі жылдары комбинаториканың практикада кең қолданыс табуына электрондық есептегіш техниканың дамуы шектеулі математика ролінің артуы, ыктималдықтар теориясы мен математикалық статистиканың практикалық маңызының күннен-күнге артуы негізгі себеп болып отыр.

Кейбір комбинаторикалық есептермен ежелгі грек математиктері де айналысқан. Дегенмен бұл саладағы маңызды нәтижелерді алгебра мен ықтималдықтар теориясының дамуына байланысты XVII және XVIII ғасыр математиктері ала бастаған. Алғашында ықтималдықтар теориясы, негізінен, құмар ойындардың (ойын сүйегін тастау, карта ойындары және т.с.с) мұқтаждығынан туындаған.

17. ғасырдың екінші жартысында Паскаль мен Ферма арасындағы хат

алысу кезінде ғалымдар құмар ойындарында кездесетін заңдылықтарды ғылыми тұрғыдан негіздеп бақты. Тарихшы ғалымдар ықтималдық теориясының пайда болуын осы хат алмасулардан бастау алады деп бағалайды. Бұл теорияның дамуына нидерланд математигі X. Гюйгенс (1629-1695), неміс ғалымы Г. В. Лейбниц (1646-1716), швейцар математигі Я. Бернулли (1654-1705) және өзгелер қомақты үлес қосты.

17. ғасырда жаратылыстану және тұрмыс-тіршілік мұктаждықтары

(бақылау қателіктері теориясы, оқ ату теориясының есептері, статистика мәселелері және т.с.с.) ықтималдықтар теориясының дамуын жаңа сатыға көтерді. Ықтималдықтар теориясында аналитикалық тәсілдерді қолдануда үлкен үлес қосқандар қатарында А. Муавр (1667-1754), П. С. Лаплас (1749-1827), К. Гаусс (1777-1855), С. Пуассон (1781-1840) сынды ғұлама математиктер болды. Ал ХІХ-ХХ ғасырларда ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистиканың қалыптасып дамуына орыс математиктерінің қосқан үлесі зор.

Олардың қатарына П. Л. Чебышев (1821-1894), А. А. Марков (1856-1922), А. М. Ляпунов (1857-1918), С. Н. Бернштейн (1880-1968), А. Я. Хинчин (1894-1959), А. Н. Колмогоров (1903-1987) және өзгелерді қосуға болады. Мәселен, А. Н. Колмогоров ықтималдықтар теориясын аксиоматикалық жолмен тұрғызды .

Қазақстанда да ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері мәселесіне байланысты кең көлемде ғылыми-зерттеу жұмыстары жүргізілуде. Бұл іске көп жағдайда халық шаруашылығы бағытындағы жоғары оқу орындары оқытушы-профессорлары белсенділік көрсетуде. Аталған мәселе жайлы елімізде Қ.Б. Бектаев, Б.С.Жаңбырбаев, Р.Т.Келтенова, Н.Аханбаев, О.М.Мейрамқұлов, Қ.Ж.Серікбаева, Р.Ғ.Мейірманова, М.Ж. Бекбатшаев, Н.С.Саханов, К.Н.Бағысбаев, А.К.Қазешов, С.А.Нұрпейісов, Қ.Қаңлыбаев және т.б. ғалым –педагогтар ғылыми және педагогикалық жұмыстар жүргізді.

Орта мектептерде «Комбинаторика элементтері» тақырыбын оқыту 1973-1975 жылдарда факультативтік жұмыстарда жүзеге асты, ал 1975-76 оқу жылынан бастап, бұл тақырып жалпыға міндетті жаңа бағдарлама бойынша оқытылды. Кейінерек, 1980 жылдан матеманиканың бұл бөлімі мектеп бағдарламасынан алынып тасталды. Сөйтіп, ширек ғасырға жуық уақыт бойы орта мектепте де, педагогикалық жоғары оқу орындарында да комбинаторлық талдау есептерін шығару және оларды оқыту әдістемесі оқылмай қойды .

Қазіргі таңда комбинаторика, кездейсоқ жағдайлар алгебрасы және статистика теориясы элементтері бастамалары республикамыздағы бірқатар авторлардың алгебра оқулықтарынан, сондай-ақ, Қазақстанның жалпы орта білім беретін мектебінің 5-6 сыныптарына арналған математиканың жаңа стандарттық бағдарламаларының мазмұнынан нақты орын алды.

ІX сыныптағы «Комбинаторика элементтері» тақырыбын оқып үйрену жаңа бағдарлама бойынша теориялық-жиындық негізде құрылады.

Комбинаторика элементтерін 10-11 сыныптан бастап оқыту көзделген. Өйткені «Бастауыш сыныпта комбинаторлық-ықтималдық ұғымдарды енгізу ерте, өйткені бастауыш мектеп оқушыларына қажетті «логикалық база», сонымен қатар математикалық аппарат (бөлшектер) жетіспейді; бірақ жоғары сыныптарда оны енгізу кеш, себебі бұл кезде математика формальды түрде, яғни математикалық формулалар түрінде оқытылады» [1].

Попова Т.Г. [3] жоғары сынып оқушыларында комбинаторлық ойлауды дамытудың келесі операциялық құраушы іс-әрекеттерді анықтайды:

• маңызды белгілерді ерекшелеу;

• белгілі объектілер, құбылыстар, сонымен қатар жаңа білім негізінде модель құру және модельдің бір түрінен екіншісіне өту;

• есептің шартын жақсы түсіну, сапалы талдау жасау мақсатында есептің шартын қайта қалыптастыру;

• есепті бірнеше тәсілмен шығару және тиімді әдістерін таңдау есеп құрастырып, оның шешімін анықтау;

• есеп шығаруда пәнаралық байланыстарды жүзеге асыру;

• дербес жағдайдан жалпы жағдайға көшу;

• есептің шешімін тапқан соң, салыстыру, жіктеу, ұқсастықты жүзеге асыру.

«Комбинаторлық ойлау - қарастырылып отырған құбылыстың барлық нәтижелерін анықтай білу, толық нәтиже кеңістігінен қандай да бір белгі бойынша таңдау жасаудан тұрады» [2].

Соңғы жылдары комбинаторикалық әдістердің рөлі математиканың өзінде ғана емес, оның физика, химия, биология, лингвистика, техника, экономика сияқты қолдануларында да ерекше арта түсті. Ықтималдықтарды есептеу көп жағдайларда комбинаторлық есептерге келіп саяды. Сондықтан комбинаторлық әдістермен және комбинаторлық тәсілмен оқушыларды таныстыруды ертерек бастаған жөн. бұл тақырыпты оқып үйрену оқушыларда «комбинаторлық» ойлауды дамытуға, олардың математикалық ой-өрісін кеңейтуге септігін тигізеді. Алдағы уақытта ықтималдықтар теориясының элементтерін меңгеруді жеңілдетеді.

Комбинаторикалық ойлау қарастырылып отырған құбылыстың барлық нәтижелерін анықтай білу, толық нәтиже кеңістігінен қандай да бір бойынша таңдау жасаудан тұрады. Әрбір оқушыда «комбинаторлық» ойлауды дамытудың (біреулерінде оңай, кейбіреулерінде қиындау) негізгі жолы комбинаторлық есептер шығару. Математика сабағында комбинаторлық есептерді шығару:

• оқушылардың комбинаторлық, логикалық ойлауын дамытады;

• оқушыларда нақты комбинаторлық дағды мен білімнің қалыптасуына ықпал етеді;

• ықтималдықтар теориясы элементтерін оқып үйренуге дайындайды, Сабақта комбинаторика элементтерін оқыту тәжірибесі мектеп оқушыларының бұл тақырыпты бірқатар қиындықпен қабылдайтынын көрсетіп отыр. Өйткені мұнда алғашында үйреншікті емес болып көрінетін ойлаудың және пайымдаудың жаңа түрі қолданылады, оның үстіне оқушылардың барлығында бірдей «комбинаторлық» қабілет, ойлаудың «комбинаторлық» типіне икемділік бола бермейді. Бірақ, жаттығулар арқылы әрбір оқушыда «комбинаторлық» ойлауды дамытуға (біреулерінде оңай, кейбіреулерінде қиындау) мүмкіндіктер жетерлік. Ең бастысы, бұл тақырыптарды оқытуда сабақтарды өткізу әдістемесіне ерекше көңіл бөлу керек. Тақырыпты «құртып» алмау үшін, байқап және біртіндеп алға жылжи отырып, комбинаторлық әдісті көптеген қарапайым және нақтылы мысалдар арқылы демонстрациялауға тура келеді.

Мысалы,

1. Мектепте алты күндік сабақ кестесін жасауда комбинаторлық әдісті пайдалануға болады.

2. Еңбек пәні сабағында моншақтан білезік тоқу тапсырмасы берілді. Айталық, сенде үш түсті моншақтар бар: жасыл, ақ, сары. Олардың барлығын неше тәсілмен жіпке тізігу болады?

1 – суретке қараңыз.

1 - Сурет

3. Дүкенде бағасы бірдей, маркасы 3 түрлі ұялы сымтетік: nokia, samsung, lg, сонымен қатар 3 түрлі стикер бар. Дүкеннен сыйлық сатып алмақ болған Әсет ұялы сымтетік пен стикерді неше тәсілмен таңдай алады?

4. Туған күн мерекесінде Әсет үйге 2 құрбысын қонаққа шақырыды. Қонақтарды екі орындыққа неше тәсілмен отырғызуға болады?

Шихова А.П. [4] былай деп жазады: «Комбинаторлық есептерді

шығаруда оқушылар берілген объектілер жиынынан ішкі жиынды таңдау, таңдаған ішкі жиынды есептеу және реттеу жаттығуларын орындайды. Бұл бағытта оқытушы келесі екі міндетті жүзеге асырады:

1. Берілген ақырлы жиын элементтерінен түрлі топтама құру (дербес жағдайда, берілген жиыннын ішкі жиынын теру және ішкі жиындарды реттеу).

2. Белгілі бір шарттарды қанағаттандыратын топтамалар санын, не ішкі жиындар санын, не ақырлы жиындарды реттеу санын есептеу».

Бұл есептерді атап отырғанымыздың себебі, комбинаторлық есептердің көбінде тек қана шешімдердің жалпы санын табу талап етіледі. Комбинаторлық жаттығулар жүйесіне комбинаторлық байланыстарды құрастыру жаттығуларын енгізуге болады. Комбинаторлық байланыстарды құрастыру оларды есептеуге қарағанда маңызды: ол негізгі комбинаторлық ұғымдарды енгізуге және комбинаторлық формулаларды шығаруға дайындық ретінде жүреді. Комбинаторлық байланыстарды құруда кейбір комбинацияларды қалдырып кетпес үшін комбинацияларға реттілік қатынасын енгізу керек. Осыған байланысты теру есептерін шығарудың жалпы схемасын ұсынуға болады.

1. Комбинацияға қатысушы элементтердің белгілеуін ойлап табу (егер бұлар сан немесе әріп болмаса);

2. Бірінші және бірнеше одан кейінгі комбинацияларды жазып алу;

3. Соңғы және бірнеше одан кейінгі комбинацияларды жазып алу;

4. Кез келген комбинацияны жазып алу. Оған дейінгі және одан кейінгі табу. Жалпы жағдайда келесі комбинацияны іздеудің ережесін қалыптастыру.

Комбинаторларлық есептерді шығару барысында мынандай қарапайым тұжырым жиі қолданылады: егер бірінші топта m элемент, екінші топта n элемент болса, онда бір элементі бірінші топтан және бір элементі екінше топтан алып жасалған түрлі парлар (жұптар) саны mn, көбейтіндісіне тең болады.

Шынында да, бірінші топтың бір элементін m түрлі тәсілмен, екінші топтың бір элементін n түрлі тәсілмен алуға болады. Бірінші топтан әрбір элемент алу тәсілін екінші топтан әрбір элемент алу тәсілімен біріктіре отырып, мүмкін болатын барлық әртүрлі mn парларын (жұптарын) жасап шығамыз.

Мысалы, 0,1,2,3,4,5 цифрларынан жасалатын барлық үш орынды сандардың санын есептеу үшін былай талқылаймыз: үш орынды санның бірінші цифры 0-ден өзгеше, ендеше, оны тек төрт тәсілмен алуға болады; екінші цифрды бес тәсілмен алуға болады (екінші цифр нольде болады). Мүмкін болатын бірінші цифрдың әрқайсысымен мүмкін болатын екінші цифрды біріктіріп, 4·5=20 әртүрлі екі орынды сандарды жасаймыз. Осы екі орынды сандардың әрбіреуін мүмкін болатын үшінші цифрмен (бұларды да бес тәсілмен алуға болады) біріктіріп 20·5=100 әртүрлі үш орынды сандарды табамыз.

Элементтер жиынынан комбинация жасағанда одан алынған элемент жиынға қайыра енбейтiн (енетiн) болса, онда мұндай комбинацияларды қайталанбайтын (қайталамалы) комбинация деймiз.

Бiр-бiрлеп алынған комбинация. Айталық k элементтер тобы берiлсiн: бiрiншi топта n₁ элемент, екiншi топта n₂ элемент және т.б., k-шi топта n_k элемент болсын. Бiрiншi топтан бiр элемент , екiншi топтан бiр элемент т.т., k-шi топтан бiр элемент алып, оларды алынған реттерiне қарай бiр-бiрлеп жазып, мынадай комбинация жазалық: ( ).

Мiне, осындай комбинацияларды кортеж немесе бiр-бiрлеп алынған комбинация деп атайды, оның саны көбейтiндiсiне тең.

Мысал. Бірде-бір цифры қайталанбайтын төрторынды сандардың саны қанша?

Шешуі: Төрторынды санды (i,j,k,l) кортежі деп қарастырамыз. і-дің орнында 1,2,3,4,5,6,7,8,9 цифрларының бірі тұра алады. j-дің орнында қалған 9 цифрлардың біреуі тұра алады, өйткені бүл жерде нольде болуы мүмкін. Сондықтан Сондықтан k және l-дің орнында тұра алатын цифрлардың саны – 8 және 7. Сөйтіп, көбейтінді ережесі бойынша әртүрлі және цифрлары қайталанбайтын төрторынды сандардың саны

Комбинаториканың үш түрін қарастырамыз:

1. Алмастырулар. a және b элементтен, олардың ретін өзгертіп, екі алмастыру жасауға болады: ab, ba. Үш (a,b,c) элементтен 6 алмастыру алынады: abc, bac, bca, acb, cab, cba.

Алмастырулар мына заңдылыққа бағынады: екі элементтен 2 алмастыру, немесе 2! алмастыру алуға болады, 3 элементтен үштен 6 алмастыру – 6! алуға болады, онда 4 элементтен төрттен 4!=24 алмастыру алуға болады т.с.с.

АНЫҚТАМА. Алмастырулар деп, бір бірінен айырмашылығы орналасу ретінде ғана болатын элементтер комбинацияларын айтады. Сонымен, m элементтен m! алмастыру жасауға болады, оны арқылы белгілейміз.

Қайталанбайтын комбинация үшін алмастырулар саны

ал қайталамалы комбинация үшін алмастырулар саны

формуласымен есептелінеді.

Мысал. 9 студентті екі, үш және төрторындық 3 бөлмелерге қанша әдістен орналастыруға болады?

Шешуі. Ізделінді санды былай табамыз:

2. Орналастырулар. n элементтен k-дан алынған орналастыру деп әрқайсысында k элемент бар, бірінен – бірінің айырмашылығы не элементтерінің орналасу ретінде, не элементтерінің өздерінде болатын комбинацияны айтады.

Қайталанбайтын комбинация үшін орналастырулар саны ( )

(1)

формуламен, ал қайталамалы комбинация үшін орналастырулар саны

(2)

формуласымен есептелінеді.

Мысал. 4 элементтен әрбіреуінде 2 элемент болатын комбинациялар құрып, оның санын есептеу керек.

Шешуі: a,b,c,d элементтерінен екі – екіден комбинация құруға болады. Олар: ab, ac, ad, bc, bd, cd, ba, ca, da, cb, db, dc.

3. Терулер. n элементтен k-дан жасалған терулер дегеніміз – бір-бірімен айырмашылықтары ең болмағанда бір элементінде болатын комбинация.

Қайталанбайтын комбинация үшін терулер саны

, (1)

ал қайталамалы комбинация үшін терулер саны

(2)

формуламен есептеледі.

Мысал. Бір шеңберде жатқан 6 нүкте арқылы қанша хорда жүргізуге болады?

Шешуі: Әртүрлі 6 элементтен тұрған жиыннан 2 элемент таңдалады, өйткені шеңберде жатқан екі нүкте хорданы бір мәнді анықтайды. Элементтер тәртібінің рөлі жоқ. Мысалы, [АВ] және [ВА] – бір ғана хорда. Олай болса, алты элементтен екіден терулер санын табу керек, яғни ні. Демек, әртүрлі хорда жүргізуге болады.

Берілген жиын n әртүрлі элементтерден тұрсын. Бұл жиыннан бір элементті аламыз, содан кейін жиыннан бұл элементтен басқа екінші элемент алынады т.с.с., яғни әрбір таңдауда алынған элементтерден басқа жаңа элементтер алып отырамыз. Бұл кайталанбайтын таңдау.

Берілген жиын k типті элементтерден тұратын болсын, мұнда әрбір типтің ішіндегі элементтер бірдей. Кезекті таңдауда, алдыңғы алғаннан басқа, немесе алдында алғандағыдай жаңа элемент аламыз. Бұл қайталанатын таңдау деп аталады.

Комбинаторлық сипаттағы есептерді шығаруда оларды жалпылау, ережелер мен формулаларды енгізу қарастырылмайды. Дайындаудың негізгі бағыты – комбинацияларды есептеу.

Қарапайым комбинацияларды терумен оқушылар оқиғалардың ықтималдығын өткенде бірнеше объектілермен (шарлар, кубиктер, тиын, және т.б.) жүргізген тәжірибелердің барлық мүмкін нәтижелерін жазып алу барысында танысады. Мұнда біз бұл мәселені тереңірек қарастырамыз. Таңдауда кейбір комбинацияларды қалдырып кетпес үшін комбинацияларға реттілік қатынасын енгізген дұрыс. Мұнда оқушыларға қарапайым сөздіктен жақсы таныс лексикографиялық реттелікті қолданған дұрыс.

Жұмыс құралы ретінде теру есептерін шығарудың жалпы схемасын ұсынуға болады.

1. Комбинацияға қатысушы элементтердің белгілеуін ойлап табу (егер бұлар сан немесе әріп болмаса);

2. Бірінші және бірнеше одан кейінгі комбинацияларды жазып алу;

3. Соңғы және бірнеше одан кейінгі комбинацияларды жазып алу;

4. Кез келген комбинацияны жазып алу. Оған дейінгі және одан кейінгі табу.

Жалпы жағдайда келесі комбинацияны іздеудің ережесін қалыптастыру.

Қайталанатын таңдауға өзгеше сипат беруге болады. Берілген жиын әртүрлі п элементтен тұрсын. Бірінші элементті жазып алып, оны жиынға қайта қайтарамыз. Екінші элементті аламыз. Бұл жаңа немесе алдыңғы қайтарылған элемент болуы мүмкін. Мұндай таңдау қайталанатын таңдау. Жиыннан алынған элементтер таңдауларды құрайды.

Комбинацияларды есептеудің басты ережелері: көбейту және қосу ережесі.

Қосу ережесі: Егер А мен В объектілері тоғыспайтын болса және А объектісі m тәсілмен, ал В объектісі n тәсілмен алынса, онда «А немесе В» объектілерін таңдау m + n тәсілмен жүзеге асады.

Көбейту ережесі: Егер А объектісі m әдіспен таңдалған болса және әрбір таңдамалардан кейін В объектісі n әдіспен таңдалса (А таңдауынан тәуелсіз), онда А және В реттелген қостас таңдауын әдісімен алуға болады.

Бұл ережені барлық оқушылар меңгеріп алғанша «орналастырулар» мен «алмастырулар» ұғымдарын енгізудің қажеті жоқ. Бұл мақсатта бұтақтарды пайдаланып, терімділік логикасын талқылауға, комбинациялардың әр түрін қарастыруға болады.

Комбинаторлық есептерді көбейту тәсілімен шығаруда көп жағдайларда «бұтақтар» әдісін (граф) пайдаланамыз. «Бұтақ» әдісі: алдымен «бұтақтың» төбелерін саламыз, кейін нүктелер жиынын түзулермен байланыстырамыз, яғни бұтақтармен. Алынған суретті «бұтақ» деп атаймыз.

1-мысал. Асқардың жай және авиа түрлі екі конверті мен тіктөртбұрышты, шаршы тәрізді және үшбұрышты үш маркасы бар. Хат жазып жіберу үшін конверт пен марканы неше түрлі тәсілмен таңдауға болады.

Оқушылар 6 варианттың болатынын тез байқайды. Бірақ басқаша пайымдауға болады: конвертті екі тәсілмен алуға болады; марканы үш тәсілмен таңдап алуға болады, демек көбейткенде 2 х 3 = 6 шығады, бұл кездейсоқтық емес, біз алдымен, екі конверттің ішінен бір конвертті таңдап аламыз ғой, ал сонан соң үш марканың біруін таңдап аламыз. Конвертті таңдап алудың кез келген тәсілін, марканы таңдап алудың үш тәсілімен біріктіріп, маркалар санына сәйкес 2  3 = 6 түрлі тәсілді шығарып аламыз.

Мұғалім мұндай есептерді шығарудың тиімді тәсілі – граф құруды ұсынады.

Бұл тәсілде қандай да бір мүмкіндіктерді қалдыру мүмкін емес. Берілген есепке арналған граф 2-суретте келтірілген. Ол екі сатыдан тұрады:

1-саты: конвертті таңдауа; 2-саты: марканы таңдау.

2 - сурет

Келесі есеп арқылы комбианториканың ықтималдықты есептеуге қатысын көрсетейік.

Мысал. Екі тенге бірдей лақтырылды, ықтималдықты есептеңіз.

Шешуі. 6–суретте әр кесінді ықтималыдығы бірдей жағдайды білдіреді, яғни бізге төрт ықтималдығы тең жағдай белгілі. Бұл жағдайлардың екеуінде елтаңба жағы бір рет түседі. Елтаңбаның бір рет түсу ықтималдығын 2:4 деп бағалауға болады. Елтаңба жағы екі рет түсу нәтижесі бұл төрт жағдайдың біреуінде ғана орын алады. Елтаңбаның екі рет түсу ықтималдығы -ге тең. Егер екі тенгені лақтыру нәтижесін елтаңбаның түсу санымен белгілісек, онда

.

Терулер

1. Қайталанбайтын және қайталанбалы терулер. Ньютон Биномы

Егер комбинациядағы элементтердің реті емес, тек оның құрамы қарастырылса, онда сөз теру жайлы болады.

Анықтама. Егер п элементті жиыннан m элементтен алынған таңдамалар бір бірінен ең болмағанда бір элементпен өзгешеленетін болса, онда мұндай таңдаманы п элементтен m бойынша алынған қайталанбайтын теру деп атайды.

Бұл символымен белгіленіп, төмендегі формула бойынша есептелінеді: =

1-мысал. А, В, С, D төрт элементтен 2 элементті қайталанбайтын орналастырулар және терулер санын табу керек.

Шешуі. Орналастыру формуласы бойынша n=4, m=2, = = , яғни

АВ АС А D ВС ВD СD

ВА СА DА СВ DВ DС

мұнда элементтердің орналасу реті маңызды.

Ал дәл осы элементтер үшін, яғни n=4, m=2 жағдайда, формула бойынша терудің санын табуға болады

= = = =6, яғни

АВ АС АD ВС ВD СD

мұнда элементтердің орналасу реті маңызды емес.

2-мысал. 45 сұрақтан тұратын бағдарламадан әр билетте 4 сұрақтан бар емтихан билеттері жазылған. Оқушы бағдарламаның 15 сұрағына дайындалып үлгере алмады. Оқушы алған билетте оның білетін сұрақтарының болу ықтималдығын анықтаңдар.

Теру санын есептеуде төмендегі қасиеттерді пайдалануға болады: 1. =1

2. = 1

3. = n

4. =

5.

Соңғы қасиет «рекурренттік формула» болып табылады. Егер n=6 деп алсақ, онда . Бұл қасиетті Паскаль үшбұрышы деп аталатын сандық кесте түрінде жазуға да болады. Оның төбесі және бүйір қабырғалары 1 санынан тұрады. Ал басқа кез-келген жолдың элементтері алдыңғы жолдың сол және оң жағында тұрған сандардың қосындысына тең болып, олардың арасына жазылады.

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

Сонымен n=6 үшін (6 жол) және m=3 , яғни 15=5+10.

Паскаль үшбұрышындағы сандар биномдық коэффиценттер деп аталады. Бұл коэффициенттер Ньютон биномының коэффиценттеріне тең.

(а+в)ⁿ = aⁿ b⁰ + a^n-1 b¹ + a^n-2 b² +…+ a¹ b^n-1 + a⁰ bⁿ

2-мысал. (а+в)⁹ өрнегін Ньютон биномының формуласын пайдаланып жаз.

Шешуі: (а+в)⁹ = а⁹ в⁰ + а⁸ в¹ + а⁷ в² + а⁶ в³ + а⁵ в⁴ +

а⁴ в⁵ + а³ в⁶ + а² в⁷ + а¹ в⁸ + а⁰ в⁹

Мұнда Паскаль үшбұрышындағы 9-шы жолдың коэффиценттері қолданылады.

Сонымен (а+в)⁹ =а⁹ + 9а⁸в¹ +36 а⁷в² + 84 а⁶в³ + 126 а⁵в⁴ + 126 а⁴в⁵ +

84. ³в⁶ + 36 а²в⁷ + 9 а¹в⁸ + в⁹.

Анықтама. п элементтерден тұратын жиыннан к элементтер көлеміндегі таңдама өзінің көлемі бойынша емес, құрамы бойынша өзгешеленетін (кем дегенде бір элементімен) таңдаманы қайталанбалы терулер деп атайды.

Мұндай қайталанбалы терулер саны символымен белгіленеді және төмендегі формуламен есептеледі.



1-мысал. Гүлдер сататын дүкенде үш түрлі гүл бар. Әрқайсысында 5 гүлден болатын әр түрлі неше гүл шоғын алуға болады?

Шешуі. Гүл шоғындағы бір сортты гүлдердің түрлері қайта-ланып,гүлдердің орналасу реті ескерілмейтіндіктен, біз қайталанбалы терулер формуласын пайдаланамыз. Қарастырылып отырған жиын 3 элементтен тұрады, ал таңдама (гүл шоғы) 5 элементтен тұрады, яғни гүлдер шоғының саны – 3 элементтен 5-тен алынған терулер саны , яғни n=3, k=5 болады, формула бойынша

әртүрлі гүлдер шоғын алуға болады.