Батыс Қазақстан облысы
Орал қалалық білім беру бөлімі

«Математикалық сауаттылық
есептерін шығару»
Оқу-әдістемелік құрал
8-11-сынып

Орал - 2021

Орал қаласы №20 жалпы орта білім беретін мектебінің әдістемеліксараптамалық кеңесінде қаралып, қалалық эксперттік кеңеске ұсынылды.
Хаттама №

« » сәуір, 2021 жыл

Құрастырған: С.Т.Мутиева – Орал қаласы №20 жалпы орта білім беретін
мектебінің математика пәнінің мұғалімі, педагог-сарапшы

Рецензенттер:
А.Н.Кушеккалиев – М.Өтемисов атындағы БҚУ-нің АТО жетекшісі, физикаматематика ғылымдарының кандидаты, доцент.
Г.З.Жумабекова– Орал қаласы, №20 орта жалпы білім беретін мектебінің
жоғары санатты математика пәнінің мұғалімі,педагог-зерттеуші

Оқу-әдістемелік құрал қазіргі кезеңде қазақстандық білім беру жүйесінде
маңызды орынға ие болып отырған математикалық сауаттылық пәнінің пайыз
бен оның қолданылулары және жазық фигураның ауданын табу
тақырыптарына арналған.
8-11 сынып оқушыларына, жоғары оқу орындарына түсетін
талапкерлерге, математика мамандығында оқитын студенттерге және жас
математик-мұғалімдерге арналған.

Мазмұны
Кіріспе ......................................................................................................... 4
Негізгі бөлім .............................................................................................. 5
І тарау. Пайыз. Пайызға берілген есептердің түрлері ........................... 5
1.1. Берілген санның көрсетілген пайызын табу...................................... 5
1.2. Берілген пайызы бойынша санды табу ............................................. 5
1.3. Бір санды екінші санның пайыздық мөлшері түрінде өрнектеу .... 6
1.4. Күрделі пайыздар ................................................................................ 6
1.5. Өзгеру пайызы ..................................................................................... 6
Мәтінді математика тіліне аудару ............................................................ 8
1.6. Пайызға қатысты мәтін есептер ........................................................ 9
ІІ тарау. Жазық фигураның ауданын есептеу ...................................... 15
2.1. Жазық фигураның ауданын есептеу тәсілдері ............................... 16
2.2. Пик формуласы ................................................................................. 22
2.3. Пик формуласының математикалық сауаттылықтан ҰБТ
есептерін шешуде қолданылуы .............................................................. 24
Қосымша материалдар ............................................................................ 30
Тест №1 ………………………………………….................................... 30
Тест №2 ………………………………………….................................... 32
Тест есептерінің дұрыс жауаптарының кілттері .................................. 34
Қорытынды ............................................................................................. 35
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі .......................................................... 36

3

Кіріспе
ҰБТ-да тест тапсырмаларына логикалық есептер енгіз іле
бастағанына 10 жылдай уақыт болды . Логикалық есептерді шешудің
негізгі мақсаты – баланың ойлау жүйесін ретке келтіріп, шыңдай
түсу, өмірдің кез келген жағдайында дұрыс әрі ұтымды шешім таба
алатындай ұшқыр ойлылыққа тәрбиелеу. Логикалық есептерд і
халқымыз өз ұрпағын ұшқыр ойлы, есте сақтау, бақылағыш
қабілеттерін жоғары етіп тәрбиелеуде қолданып келген.
Бүгінгі таңда білім беру жүйесін жаңалауды іске асырудың
қажеттігі күн санап арта түсуде. Бұл мақсатты іске асырудағы өзекті
мәселелердің бірі – оқушылардың ой-өрісін дамыту мәселесі болып
табылады. Оқушылардың ойлау қабілетін тереңдету, пәнге
қызығушылығын
арттыру
бағытында
математиканы
жаңа
технологиялар негізінде оқытумен қатар, пәндер бағдарламасында
жоқ мәліметтерді пайдаланудың, логикалық есе птер құру және
оларды шешудің жолдарын үйретудің де пайдасы бар.
Біздің заманымыз ғылым мен техниканың қарқынды дамуымен
ерекшеленеді. Сондықтан әрбір мектеп оқушысының алда тұрған
міндеті – қазіргі заманғы математикалық логиканың негізін түсіне
білу, логикалық есептерді шеше білу. Математикалық логиканы
білмейінше, оны ойдағыдай меңгеру қиын, өйткені бүгінгі күн і
ғылым мен техниканың дамуына байланысты адамзат техникалық
құрылғылардың түр -түрін ойлап табуда. Әрине, мұның бәр і
адамның ойлау қабілетінің ең ірі жетістіктері болып табылады.
2017 жылдан бастап ҰБТ форматының өзгергендігі баршаға аян.
«Математикалық сауаттылық» деп аталатын жаңа ұғым енгізіліп,
осы атаумен ҰБТ-ға «міндетті пән» ретінде көрініс тауып отыр.
Оқу-әдістемелік құралында математика лық сауаттылық пәнінен
жалпы орта білім беретін мектеп бағдарламасына сай « Қазақстан
Республикасы Білім және ғылым министрлігінің Білім беру мен
тестілеудің мемлекеттік стандарттарының ұлттық орталығы
(БТМСҰО) өткізетін кешенді тест сынағының бағдарламасына
сәйкес екі тақырып егжей -тегжейлі қарастырылады.
Ұсынылып отырған оқу-әдістемелік құралы математика
пәнінің мұғалімдеріне де сабақ өткізу барысында пайдалы болады
деген сенімдемін.

4

НЕГІЗГІ БӨЛІМ
1-тарау. Пайыз. Пайызға берілген есептердің түрлері
Пайыздар (проценттер)
Санның жүзден бір бөлігі пайыз (процент) (латынның «pro cento» –
жүзден) деп аталады. Белгілеуі – %.
Пайыздарға берілетін есептердің негізгі алты түрі төмендегідей:
1. Берілген санның көрсетілген пайызын табу.
2. Берілген пайызы бойынша санды табу.
3. Бір санды екінші санның пайыздық мөлшері түрінде өрнектеу.
4. Күрделі пайыздар.
5. Өзгеру пайызы.
6. Пайызға қатысты мәтін есептер.
1.1. Берілген санның көрсетілген пайызын табу
Берілген санды көрсетілген пайыз санына көбейтіп, нәтижесін жүзге
бөледі, яғни
а санының р %-ы a  p .
100
Мысал. 260 санының 20 %-ын табу керек болсын.
Шешуі. Жоғарыдағы формула бойынша

260  20
 52 .
100

1.2. Берілген пайызы бойынша санды табу
Берілген шаманы көрсетілген пайыз санына бөліп, нәтижесін жүзге
b  100
көбейтеді, яғни егер х санының р %-ы b-ға тең болса, онда x 
.
p
Мысал. Санның 20 %-ы 150 болса, санның өзін табу керек болсын.
Шешуі. Жоғарыдағы формула бойынша

5

150  100
 750 .
20

1.3. Бір санды екінші санның
пайыздық мөлшері түрінде өрнектеу
Бірінші санды жүзге көбейтіп, нәтижесін екінші санға бөледі, яғни
a  100
а саны b санының
%-ын құрайды.
b
Мысал. 15 саны 12 санының неше пайызын құрайтынын табу керек болсын.
Шешуі. Жоғарыдағы формула бойынша

15 100
 125 %.
12

1.4. Күрделі пайыздар
Жинақ кассасына p пайыз жылдық өсіммен а теңге салынған болса,
n

p 

онда n жылдан кейін кассадағы ақша a  1 
 теңге құрайды.
 100 
Мысал. Салымшы жинақ кассасына 10 пайыз жылдық өсіммен 400000 теңге
салды. Ол 3 жылдан кейін қанша ақша алады?

Шешуі. Жоғарыдағы формула бойынша
3

10 

3
S  400000  1 
  400000 1,1  532400 (теңге).
 100 

1.5. Өзгеру пайызына қатысты есептер
Өзгеру пайызына қатысты есептер мына түрде айтылады: А саны В
санына дейін өзгерді. Өзгеру пайызын табыңыз.

A B
 100 %. Бұл
A
A B
B A
 100 %, A  100
формуланы А>B болғанда
A
A
Есептің шешуі мына формуламен анықталады:

% түрінде болады, яғни А мен B-ның үлкенінен кішісін азайтып, бастапқы
санға (А-ға) бөліп, нәтижесін 100-ге көбейтеді.
1-мысал. 200-ден 230-ға дейінгі өзгеру (өсу) пайызын табыңыз.
Шешуі. Жоғарыдағы формуланың екіншісі бойынша
230  200
30
 100 % 
 100 %  15 %.
200
200
Жауабы. 15 %.
6

2-мысал. 200-ден 150-ге дейінгі өзгеру (кему) пайызын табыңыз.
Шешуі. Жоғарыдағы формуланың біріншісі бойынша
200  150
50
 100 %  25 %.
 100 % 
200
200
Жауабы. 25 %.
3-мысал. 200-ден 250-ге дейінгі өзгеру (өсу) пайызын табыңыз.
Шешуі. Жоғарыдағы формуланың екіншісі бойынша
250−200
50
∙ 100% =
∙ 100% = 25 %.
200
200
Жауабы. 25 %.
4-мысал. 200-ден 160-қа дейінгі өзгеру (кему) пайызын табыңыз.
Шешуі. Жоғарыдағы формуланың біріншісі бойынша
200−160
40
∙ 100% =
∙ 100% = 20 %.
200
200
Жауабы. 20 %.
5-мысал. 80-нен 90-ға дейінгі өзгеру (өсу) пайызын табыңыз.
Шешуі. Жоғарыдағы формуланың екіншісі бойынша
90−80
10
∙ 100% = ∙ 100% = 12,5 %.
80
80
Жауабы. 12,5 %.
6-мысал. 3,6-дан 9-ға дейінгі өзгеру (өсу) пайызын табыңыз.
Шешуі. Жоғарыдағы формуланың екіншісі бойынша
9−3,6
5,4
∙ 100% = ∙ 100% = 150 %.
3,6

3,6

Жауабы. 150 %.

7-мысал. Қанттың 1 килограмының бағасы 180 теңгеден 216 теңгеге дейін
қымбаттады. Қант неше пайызға қымбаттады?
Шешуі. Бұл өзгеру пайызына берілген есеп. Жоғарыдағы формуланың
екіншісі бойынша
216−180
36
∙ 100% =
∙ 100% = 20 %.
180
180
Жауабы. 20 %.
8-мысал. Қызметкер қаңтарға дейін айына 60000 тг еңбекақы алатын еді.
1-ші қаңтардан бастап қызметкер айына 72000 тг жалақы алатын болды.
Қызметкердің жалақысы қалай және қаншаға өзгерді?
Шешуі. Есеп шарттарынан қызметкердің жалақысының өскендігін көріп
отырмыз. Бұл өзгеру пайызына берілген есеп. Енді қаншаға өскендігін
анықтаймыз. Жоғарыдағы формуланың екіншісі бойынша
72000−60000
12000
∙ 100% =
∙ 100% = 20 %.
60000
60000
Жауабы. 20 %.
7

9-мысал. Тіктөртбұрыштың әр қабырғасы 50 %-ға ұзартылған.
Тіктөртбұрыштың ауданы қанша пайызға (процентке) көбейеді?
Шешуі. Берілген тіктөртбұрыштың
a
қабырғаларының ұзындықтарын а және b
десек,
онда
оның
ауданы
S1=ab.
S1
b
Тіктөртбұрыштың әр қабырғасы 50 %-ға
S
a/2
ұзартылғанда олар сәйкесінше 1,5а және 1,5b
болады да, жаңа тіктөртбұрыштың ауданы
S2
b/2
S3
? −?
S2=1,5a∙1,5b=2,25ab. Сонда 2 1 ∙ 100% =
2,25??−??

Жауабы.

??

∙ 100% =

1,25??
??

?1

∙ 100% =125%.

125 %.

10-мысал. Тіктөртбұрыштың әр қабырғасы 20 %-ға ұзартылған.
Тіктөртбұрыштың ауданы қанша пайызға (процентке) көбейеді?
Шешуі. Берілген тіктөртбұрыштың
a
қабырғаларының ұзындықтарын а және b
десек,
онда
оның
ауданы
S1=ab.
S1
b
Тіктөртбұрыштың әр қабырғасы 20 %-ға
S
0,2a
ұзартылғанда олар сәйкесінше 1,2а және 1,2b
болады да, жаңа тіктөртбұрыштың ауданы
0,2b
S2
S3
? −?
S2=1,2a∙1,2b=1,44ab. Сонда 2 1 ∙ 100% =
1,44??−??

Жауабы.

??

∙ 100% =

0,44??
??

?1

∙ 100% =44 %.

44 %.

Мәтінді математика тіліне аудару
х санының 9 %-ы
х санының 15 %-ы
х санының 80 %-ы
х санының 81 %-ы
х санын 3 %-ға арттыру
х санын 30 %-ға арттыру
х санын 217 %-ға арттыру
х санын 700 %-ға арттыру
х санын 2 %-ға кеміту
х санын 20 %-ға кеміту

0,09·х
0,15·х
0,8·х
0,81·х
х + 0,03·х
х + 0,3·х
х + 2,17·х
х + 7·х
х–0,02·х
х – 0,2·х
8

х санын 35 %-ға кеміту
х санын 80 %-ға кеміту
х саны у санының 9 %-ын құрайды
х саны у санының 17 %-ын құрайды
х саны у санының 50 %-ын құрайды
х саны у санының 135 %-ын құрайды
у саны х санының 290 %-ын құрайды

х – 0,35·х
х – 0,8·х
x = 0,09·y
x = 0,17·y
x = 0,5·y
x = 1,35·y
y = 2,9·x

1.6. Пайызға қатысты мәтін есептер

Математика мен математикалық сауаттылықтан ұлттық бірыңғай тестілеу
емтихандарында талапкерлер алдында күрделі мәселе туғызатын есептер
қатарына теңдеулер мен олардың жүйелерін құруға арналған есептер, қысқаша
айтқанда, мәтін есептер жатады. Бұл түрдегі есептерді шешу үшін алдымен
есептің түрін анықтап алып, содан кейін есеп шығару үшін қолданылатын
формуланы немесе ережені таңдап алу керек. Содан кейін ғана есептің
берілгендерін пайдалана отырып, теңдеу немесе теңдеулер жүйесін құрады.
Біз бұл пунктте пайызға қатысты мәтін есептерді шешу үлгілері келтіреміз.
1-есеп. Жаңа жұлынған саңылауқұлақтарды кептіргенде, ол өз салмағының 98
-ын жоғалтады. 4 кг кептірілген саңырауқұлақ алу үшін қанша жаңа
жұлынған саңырауқұлақ қажет?
Шешуі. Жаңа жұлынған саңылауқұлақтар салмағы х десек, есеп шартынан
x  0,98x  4
теңдеуі шығады.
Оны шешеміз:
0,12 x  4 ,
x  200 кг.
Жауабы. 200 кг.
2-есеп. Пісірген кезде ет өз салмағының 35 -ын жоғалтады. 520 грамм
пісірілген ет алу үшін неше грамм шикі ет керек?
Шешуі. Алынатын шикі ет салмағы х десек, есеп шартынан
x  0,35 x  520
теңдеуін аламыз.
Оны шешеміз:
0,65 x  520 ,
x  800 г.
Жауабы. 800 г.
9

3-есеп. Сүттің 21 -ы қаймақ болады, ал қаймақтың 24 -ы май болады. 630
кг май алу үшін қанша сүт керек?
Шешуі. Ізделінді сүт көлемі x десек, есеп шартынан
0,24  (0,21x)  630
теңдеуін аламыз.
Бұдан
x  630 : (0,24  0,21)  12500 кг.
Жауабы. 12500 кг.
4-есеп. Тауар 1386 мың теңгеге сатылғанда 10  пайда алынды. Тауардың
өзіндік құнын анықтаңыз.
Шешуі. x – тауардың өзіндік құны.
Есеп шартынан
x  0,1x  1386000
теңдеуін аламыз.
Оны шешеміз: 1,1x  1386000 , x  1260000 теңге.
Жауабы. 1260000 теңге.
5-есеп. Екі санның қосындысы 120, біреуінің 40 -ы екіншісінің 60 -на тең.
Осы сандарды табыңыз.
Шешуі. x – бірінші сан, y – екінші сан.
 x  y  120
Есеп шарттарынан 
,
0,4 x  0,6 y
0,6 y
 1,5 y .
және екінші теңдеуден x 
0,4
Бірінші теңдеуге қойсақ:
1,5 y  y  120 ,
2,5 y  120 ,
y  48 ; x  72 .
Жауабы. 72 және 48.
6-есеп. Жұмыс күні 8 ден 7 сағатқа азайтылды. Бұрынғы жалақы 5 -ға өсу
үшін еңбек өнімділігін неше пайызға көтеру керек?
Шешуі. p – еңбек өнімділігі, x – оның өсімі.
8p
~ 100
,
7( p  x) ~ 105
105  8 p
7( p  x ) 
 8,4 p ,
100
x  0,2 p , яғни 20 %.
Жауабы. 20 %.
10

7-есеп. Қоймада 100 кг жидек бар еді. Тексере келгенде жидек құрамының 99
-ы су екен. Біраз уақыт өткеннен кейін жидектегі су мөлшері 98 -ға дейін
азайды. Енді жидек неше килограмм?
Шешуі. 100 кг жидектегі құрғақ масса 100–99  1 кг.
Соңында жидектегі су мөлшері 98  болды, яғни 1 кг құрғақ масса 2 
құрайды.
1 кг ~ 2
Сонда
пропорциясын аламыз, одан x  50 кг.
x кг ~ 100
Жауабы. 50 кг.
8-есеп. 90 -дық суы бар 100 кг массадан 80 -дық судан тұратын масса алу
үшін қанша суды құрғату керек?
Шешуі. 100 кг массадағы су мөлшері 0,9  100  90 кг, қалған 100  90  10
килограмы құрғақ зат. Бұл құрғақ зат құрғатылғаннан кейінгі массаның
100  80  20 пайызын құрайды, сондықтан құрғатылғаннан кейінгі қалған
массаның 80 пайызын құрайтын су мөлшері құрғақ заттан 4 есе ауыр
4  10  40 кг. Сонда құрғатылған су 90  40  50 кг.
Жауабы. 50 кг.
9-есеп. Гаражда 54 жүргізуші бар. Егер әр күні гараждағы 60 автомашинаның
25 -ы өз ақауларын жөңдеу үшін жұмысқа шықпай қалса, онда бір айда (30
күн) әр жүргізушінің неше бос күні болады?
Шешуі. Әр күні 0,25  60  15 автомашина гаражда қалады, 60  15  45
автомашина жұмысқа шығады, 54  45  9 жұмыстан бос қалады. Бір айда
30  9  270 адам-күн бос. Әр жүргізушінің 270 : 54  5 бос күні болады.
Жауабы. 5.
10-есеп. Тауардың 1 кг-ның сатылатын бағасы 2,2 мың теңге, азық-түлік
дүкені бұдан 10  пайда табады. Егер осы тауардың килограмын 1,8 мың
теңгеден сатса, онда дүкен 43 мың теңге зиян шегеді. Дүкендегі тауар қанша
еді?
Шешуі. Тауардың килограмының өз құны x, тауар n кг болсын. Есептің бірінші
шартынан
x  0,1x  2200
теңдеуін аламыз, оның шешімі: x  2000 теңге.
Есептің екінші шартынан n(2000  1800 )  43000 , n  215 кг.
Жауабы. 215 кг.
11-есеп. Құны 225 мың теңгелік екі бағалы тері халықаралық аукционда 40 
пайдамен сатылды. Егер бірінші теріден 25 , екіншісінен 50  пайда түскен
болса, әр терінің жеке бағасы қанша?
Шешуі. x, y – сәйкесінше бірінші және екінші терінің бағалары.
Түскен пайда 0,4  225000  90000 теңге.
11

0,4( x  y )  90000
,

0,25 x  0,5 y  90000
 x  y  225000
.

 x  2 y  360000
Екінші теңдеуден бірінші теңдеуді мүшелеп азайтсақ y  135000
x  90000 теңге.
Жауабы. 90000 теңге, 135000 теңге.

теңге,

12-есеп. Кітаптың бірінші томының 60-ның, екінші томының 75-інің құны
270 мың теңгені құрайды. Ал іс жүзінде барлық кітаптарға 237 мың теңге
төленді, өйткені кітаптың бірінші томы 15 -ға, екінші томы 10 -ға
арзандатылды. Кітаптардың алғашқы бағасы қанша еді?
Шешуі. x, у – сәйкесінше бірінші және екінші томдардың бағалары.
60 x  75 y  270000
Есеп шарттарынан 
теңдеулер жүйесін алып,
0
,
85

60
x

0
,
9

75
y

237000

4 x  5 y  18000
оны шешеміз 
.
51
x

67
,
5
y

237000

Соңғы жүйені шешсек: x  2000 , y  2000 .
Жауабы. 2000 теңге, 2000 теңге.
13-есеп. Екі жұмысшы бір сменада 72 деталь дайындады. Біріншісі еңбек
өнімділігін 15 -ға, екіншісі 25 -ға арттырғаннан кейін бір сменада 86 деталь
жасайтын болды. Еңбек өнімділігін арттырғаннан кейін әрқайсысы бір
сменада қанша деталь жасайтын болды?
Шешуі. Екі жұмысшының әрқайсысы алғашқыда бір сменада сәйкесінше х
және у деталь дайындаған болсын. Онда еңбек өнімділігін арттырғаннан кейін
олар сәйкесінше 1,15x және 1,25 y деталь дайындаған болады, яғни
 x  y  72,
 x  y  72,



x

1
0
,
15
,
15
x
x


1
y
,
25

0
y
,
25

86
y

86


 x  40, y  32  1,15 x  46, 1,25 y  40 .
Жауабы. 46 деталь, 40 деталь.
14-есеп. Теңіз суында салмағы бойынша 5 -дық тұз бар. Құрамында тұз
мөлшері 2  болу үшін 80 кг теңіз суына қанша таза су қосу керек?
Шешуі. Есеп шарты бойынша 80 кг теңіз суының 5 -ы тұз, яғни 0,05  80  4
4
 0,02 . Бұдан x  120 кг.
кг тұз. Есеп шартынан
80  x
Жауабы. 120 кг.

12

15-есеп. Мыс пен қалайыдан тұратын екі кесек қорытпа бар. Бірінші
қорытпада 40 , екіншісінде 32  мыс бар. 35  мысы бар 8 кг қорытпа алу
үшін бірге қорытылатын кесектердің салмағы қандай болуы керек?
x  y  8
Шешуі. x – мыс, у – қалайы. Есеп шарттарынан 
0,4 x  0,32 y  0,35  8
x  y  8
теңдеулер жүйесін аламыз және оны шешеміз:
,

0
,
4
x

0
,
32
y

2
,
8

x  y  8
, x  3 кг, y  5 кг.

x

0
,
8
y

7

Жауабы. 3 кг, 5 кг.
16-есеп. Екі заттан тұратын салмағы 18 кг қоспа бар. Қоспадан 40  бірінші,
25  екінші затты айырып алғаннан кейін екінші зат қанша қалса, бірінші зат
та сонша қалды. Қоспада әрқайсысынан неше кг зат бар еді?
Шешуі. x, y – сәйкесінше бірінші және екінші зат мөлшері.
 x  y  18
Есеп шарттарынан 
теңдеулер жүйесін аламыз, және оны
 x  0,4 x  y  0,25 y
шешеміз.
 x  y  18
,

0,6 x  0,75 y
 x  y  18
,

 x  1,25 y
x  10 , y  8 .
Жауабы. 10 кг, 8 кг.
17-есеп. Массасы 0,5 тонна целлюлозаның 85 %-ы су. Құрамында 25 %
целлюлоза болу үшін қанша суды құрғату керек?
Шешуі. 0,5 т  500 кг, құрамындағы су 0,85  500  425 кг, ал құрғақ масса
75
 0,25 ,
500  425  75 кг. x – құрғатылатын су. Қалатын құрғақ масса
500  x
300  500  x , x  200 кг.
Жауабы. 200 кг.
18-есеп. Қыс мезгілімен салыстырғанда көктемде самокатқа деген сұраныс
15%-ға, жазда тағы 25%-ға артты. Қыс мезгілімен салыстырғанда самокатқа
деген сұраныс неше пайызға артты?
Шешуі. Қыс мезгілінде самокатқа деген сұраныс саны х болсын. Онда
көктемде самокатқа деген сұраныс саны 1,15x болады.
1,15х-тің 25%-ын тап: 0,25 ∙ 1,15х =0,2875х.
Жаз мезгілінде самокатқа деген сұраныс санын анықта.
13

1,15х+ 0,25 ∙ 1,15х= 1,4375х- жаз мезгіліндегі сұраныс саны.
1, 4375?
∙ 100% = 143,75%
?
Қыс мезгілімен салыстырғанда самокатты сатып алуға деген сұраныс неше
пайызға артқанын тап:
143,75% - 100% = 43,75%
Жауабы. 43,75%
19-есеп. Кітаптың бастапқы бағасы 3000 теңгені құрайды. Алдымен кітап
бағасы 30%-ға арзандап, кейін соңғы бағасы тағы да 30%-ға арзандаған.
Кітаптың жаңа бағасын анықта.
Шешуі. Алдымен айнымалыларға сәйкес сандық мәндерді тап.
a – бастапқы сома мөлшері: 3000 тг
A – соңғы сома мөлшері,
P – өзгеру пайызы: 30%,
n – периодтар саны: 2 рет
Формуланы қолдан:
A = 3000 ∙ (1 −

30 2
)
100

A = 3000 ∙ 0,72
A = 3000 ∙ 0,49
A = 1470 теңге
Жауабы. екі рет 30%-ға арзандағаннан кейінгі кітаптың бағасы 1470 теңге.

14

2-тарау. Жазық фигураның ауданын есептеу
Бұл теореманы 1899 жылы Геогр Александр Пик ойлап тапты және ол Пик
формуласы деп аталады. Пик формуласы мектеп оқулықтарында
қарастырылмаған, дегенмен тор көздегі кез-келген көпбұрыштың ауданын
табуда қолданылатын қызықты формула деуге болады. Есте сақтау оңай
болғанымен, тор көздегі суреттің анық болуы шарт. Шегінде және ішкі
бөлігінде оналасқан тор көз түйіндерінің санын анықтау үшін бұл аса
маңызды, себебі Пик формуласы негізінен осы екеуінің сандық нәтижесі
арқылы өрнектеледі.
Геогр Александр Пик

(тарихи анықтама)

Геогр Александр Пик – австриялық математик,1859
жылы 10 тамызда Вена қаласында дүниеге келген.
Анасы – Йозефа Шляйзингер (JosefaSchleisinger), әкесі
– Адольф Йозеф Пик(Adolf Josef Pick) – меншікті
институт жетекшісі, ұлын он бір жасына дейін үйде
оқытуды жөн көрген, кейін гимназияға төртінші
сыныпқа оқуға берген. 1875 жылы қорытынды
емтиханды тапсырып, Вена университетіне оқуға
түседі.
1876 жылы он жеті жасында ең алғашқы математика
саласындағы еңбегі жарық көрді. Ол математиканы
және физиканы оқыды,осы екі пәннен де сабақ беруге мүмкіндік алып 1879
жылы униерситетті аяқтады.1880 жылы 16 сәуірде, небәрі 21 жасында,
«Абельдік интегралдар класы туралы» («О классе абелевых интегралов») деп
аталатын докторлық диссертациясын қорғады.
Оны докторлық диссертация қорғағаннан кейін сол кездегі алдыңғы қатарлы
физиктердің бірі, сонымен қатар Прагадағы Карлов университетінің – барлық
славян елдерінің ішіндегі ең ескі университеттің ректоры Эрнст Махтың
ассистенті қызметіне ұсынды. Феликс Клейннен оқып,
Лейпциг
университетінде өткізген академиялық 1884-1885 жылдарды есептемегенде
өзінің қызмет бабының соңына дейін Прагада болды. 1888 жылы
математиканың экстраординарлы профессоры, кейін 1892 жылы Прага неміс
университетінде ординарлы (толықтай) профессоры атанды.
1882 жылы Прага университеті чех (Карлов университеті) және неміс (КарлФердинанд университеті) университеттері болып екіге бөлінді. Пик неміс
университетінде қалды. 1884 жылы Пик Лейпциг университетіне Феликс
Клейнге кетіп қалды. Сол жерде ол Клейннің тағы бір оқушысы Давид
Гильбертпен танысты. 1885 жылы қалған ғылыми қызметтік бабы өткен
15

Прагаға қайтып оралды. 1900-1901 жылдары Геогр Пик Карлов
университетінің философия факультетінің деканы болған және 1911 жылы
Пик математикалық физика кафедрасына Альберт Эйнштейнді қабылдаған
комиссияның құрамында басшы болды. Олар бірге қыдырып және әңгімелесіп
жақын достарға айналды.
Пиктың математикалық қызығушылықтары өте ауқымды болған.
Негізінен,оның жасаған жұмыстары функционалды анализ және
дифференциалды геометрия, дифференциалдық теңдеулер теориясы, т.с.с.,
барлығы 50 тақырыптан асатын аумақты қамтыды. 1899 жылы ашылған тор
көздегі көпбұрыштардың ауданын анықтауға арналған Пик торемасы кеңінен
танымал болды. Германияда бұл теорема мектеп оқулықтарына енгізілген.
Алайда тек 1969 жылы Гуго Штейнгауз өзінің атақты «Математикалық
калейдоскоп» деп аталатын кітабына енгізгеннен кейін ғана кеңінен таныла
бастады.
1927 жылы Пик демалысқа шыққаннан кейін құрметті профессор атағын алып
туған қаласы Венаға оралды. Алайда 1938 жылы Австрия біріккеннен кейін 12
наурызда Прагаға қайтып оралды. 1928 жылы, содан он жыл бұрын, Чехиялық
ғылым және өнер академиясының корреспондент-мүшесі болып таңдалды,
бірақ 1939 жылы ұлтшылдар Праганы басып алғанда, ол академиядан
шығарылды. 1942 жылы 13 шілде де ұлтшылдар құрған солтүстік Чехиядағы
Терезиенштадт лагерінде қамауда ұсталды, екі аптадан соң 82 жасында қайтыс
болды.
2.1. Ауданды есептеу тәсілдері.
Тор көздегі көпбұрыштың ауданын есептеудің бірнеше тәсілі бар:
1. Тор көздер санын есептеу;
2. Планиметрия формулаларын қолдану;
3. Көпбұрышты қарапайым фигураларға бөліп қарастыру;
4. Берілген көпбұрышты толықтыру арқылы тікбұрышты фигура құрастыру;
5. Пик формуласы.
Бұл еңбекте біз мектеп оқулықтарында сирек қарастырылатын Пик
формуласын қолдануға басты көңіл бөлетін боламыз, сондықтан алғашқы 4
тәсілдің әрқайсысына 1-2 мысал қарастырумен шектелеміз.

16

1. Тор көздер санын есептеу.
Суреттегі фигураның ауданын табыңыз.
1

Шешуі. Тор көздер санын санаймыз. Берілген фигура барлығы 42 торкөзді
қамтиды, сондықтан берілген фигураның ауданы 42 квадраттық бірлікке тең.
2. Планиметрия формулаларын қолдану.
Суреттегі фигураның ауданын табыңыз.
1

Шешуі. Планиметрия формуласын қолданамыз. Тіктөртбұрыштың ауданы
оның екі өлшемінің көбейтіндісіне тең Берілген тіктөртбұрыштың ұзындығы
9 бірлік, ені 5 бірлік, сондықтан оның ауданы S=9*5=45 квадраттық бірлік.
3. Көпбұрышты қарапайым фигураларға бөліп қарастыру.
Суреттегі фигураның ауданын табыңыз.
1

17

Шешуі. Суреттегідей қосымша сызық (кесінді) жүргізу арқылы берілген
фигураны екі тіктөртбұрышқа бөлеміз. Тіктөртбұрыштың ауданы оның екі
өлшемінің көбейтіндісіне тең. Сондықтан берілген фигураның ауданын екі
тіктөртбұрыштың аудандарының қосындысы ретінде анықтай аламыз:
S=3*6+6*4=18+24=42 квадраттық бірлік.
4. Берілген көпбұрышты толықтыру арқылы тікбұрышты фигура
құрастыру.
Суреттегі фигураның ауданын табыңыз.
1

Шешуі. Суреттегідей қосымша сызықтар (кесінділер) жүргізу арқылы
берілген фигураны тіктөртбұрышқа толықтырамыз. Тіктөртбұрыштың
ауданы оның екі өлшемінің көбейтіндісіне тең. Сондықтан берілген
фигураның ауданын екі тіктөртбұрыштың (толықтыру нәтижесінде пайда
болған үлкен тіктөртбұрыш пен қосылған кішкене тіктөртбұрыш)
аудандарының айырмасы ретінде анықтай аламыз: S=9*6-6*2=54-12=42
квадраттық бірлік.

18

Көпбұрыштың ауданын табу (1-сурет)
Оны табудың көптеген тәсілдері бар.
Мен бұл тапсырманы 9, 10, 11 сынып
оқушыларына беріп көрдім. Бұл фигураның
ауданын табу оңай болып көрінгенімен,
оқушыларға көп еңбектенуге тура келді және олар
бұл есепті ұзақ уақыт шығарды. Қорытынды
мынадай болды:

1-сурет
Сынып

Дұрыс

Қате

9
10
11

2
9
13

13
4
1

Барлығы

24

18

Кейін оларға Пик формуласын түсіндіріп, тапсырманы қайта бергенде олар
мұны тез әрі жеңіл орындады.
1. Тор көздерді санау (берілген фигура үшін жуық мән)

2. Көпбұрышты қарапайым
фигураларға бөліп,
аудандарын тауып, оларды
қосу (2-сурет).
Алайда бөлшек санның
көптігіне байланысты бұл
тәсіл қолайсыздық тудырады.

2-сурет
19

3. Көпбұрышты төртбұрышқа толықтырып
тұрған фигуралардың ауданын табу. (3-сурет)
S = 2+1+0,5 + 3+ 2 + 1 + 2 +1,5=13 (кв.бірлік)
Төртбұрыштың ауданынан алып немесе
азайтып тастау керек.
3-сурет

S = 5・6 – 13=17 (кв.бірлік)
4. Бұл көпбұрыштың ауданын табу үшін бізге бар болғаны шегінде және
ішінде орналасқан тор көз түйіндерінің санын анықтасақ жеткілікті екен.
Ішкі тор көз түйіндері-І;
Шегіндегі тор көз түйіндері-Ш.
Пик формуласы: S=Ш/2+І-1
Көпбұрыш ауданы: S=8/2+14-1=17 (кв.бірлік).
Тапсырма: Көпбұрыштың ауданын табу (4сурет)
Шешуі:
1-тәсіл:
Үшбұрыштың және тіктөртбұрыштың
ауданын табуға
4-сурет
арналған формулаларды пайдаланып 1-16
фигуралардың
әр қайсысының
ауданын есептейміз:
?1 = 6 кв.бірлік; ?2 = 6 кв.бірлік;
?3 = 1,5 кв.бірлік; ?4 = 4 кв.бірлік; ?5 = 36
кв.бірлік; S6= 13,5 кв.бірлік; S7 = 9
кв.бірлік; S8 = 9 кв.бірлік; S9 = 18 кв.бірлік; S10 = 12,5 кв.бірлік; S11 = 16
кв.бірлік; S12 = 8 кв.бірлік; S13 = 26 кв.бірлік; S14 = 2 кв.бірлік; S15 = 13,5
кв.бірлік; S16 = 4,5 кв.бірлік.
Үлкен тіктөртбұрыштың ауданы: S1=16∙18=288 кв.бірлік.
1-16 фигуралардың толық ауданы: S1 + S2 +…+S16 =185,5 кв.бірлік.
Берілген көпбұрыштың ауданы: S=288-185,5=102,5 кв.бірлік.
Жауабы: 102,5 кв.бірлік

20

2-тәсіл: Пик формуласының көмегімен
анықтаймыз.
1. Ішкі түйіндерді санап шығамыз. І=88(5-суреттегі
қызыл нүктелер)
2. Шегіндегі түйіндерді санап шығамыз. Ш=31(5суреттегі қара нүктелер)
3. Пик формуласын қолданамын:
S=31/2+88-1=15,5+88-1=102,5 кв.бірлік.
Жауабы:102,5 кв.бірлік
5-сурет

21

2.2. Пик формуласы
Егер көпбұрыштың төбелері нақты координаталық нүктелерде жатса және
өзін-өзі қиып өтпесе,онда ол тор көздік көпбұрыш деп аталады.
Тор көздер арқылы өтіп жатқан сызықтар тор құрайды,тор көздің төбелері –
тордың бұрыштары.
Басқа да арнайы формулалары бар ауданы өте кішкентай әдеттегі өзіміз
білетін көпбұрыштарды қарастырайық.
1. Бірлік квадрат (шаршы). S=1, І=0, Ш=4 және формула дұрыс.
2. Тіктөртбұрыш. Демек: S = a·b, І = (а-1)(b-1), Ш=2(а+b).
S= (a·b -b-a+1)+2(a+b)/2-1=( a·b -a-b+1)+a+b-1= a·b
Формуланың дұрыстығы дәлелденді.
3. Ішкі түйіндері жоқ, түйіндері тек шегінде орналасқан,ауданы 0,5 кв.бірлік
тор көзді қағаздағы кез-келген үшбұрыш қарапайым үшбұрыш деп аталады.
Бұдан мынадай қорытынды жасауға болады:
Барлық қарапайым үшбұрыштар бір-біріне тең және олардың ауданы бірлік
шаршының ауданының жартысына тең.
Қарапайым үшбұрыштар әр түрлі болып келеді
(6-сурет).
Фигураның ауданы және бұл фигурадағы
түйіндер саны арасындағы байланыс үшбұрыш
жағдайында анық байқалады.

6-сурет

7-сурет

ABCD-тіктөртбұрыш (7-сурет)
Ішкі түйіндерді І деп белгілейік, шекарасындағы
түйіндерді Ш деп белгілейік.
Онда былай деп қарастыруға болады: әрбір І
түйіндері аралас тордың барлық тор көздерін
«басқарады», ал әрбір Ш түйіндері-4
шекарасындағы бұрыштық емес түйіндерді-тор
көздің жартысын, ал бұрыштық нүктелердің
әрқайсысы-тор көздің төрттен бірі. Сондықтан
тіктөртбұрыштың ауданы S мынаған тең:
S = І +( Ш-2)/2 + 4 ·

22

1
= в + Ш/2 - 1 .
4

Бұл теңдікті басқаша дәлелдеуге болады.
Егер тіктөртбұрыштың қабырғалары a және b
болса, онда S= a·b (8-сурет), ішкі түйіндерінің
саны І = (а-1)(b-1), шекарасында орналасқан
түйіндердің саны Ш=2(а+b).
S=(a·b -b-a+1)+2(a+b)/2-1=
=( a·b -a-b+1)+a+b-1= a·b
8-сурет
9-суретті қарастырайық. ADEBCKP көпбұрышы (М көпбұрышы) АВ
кесіндісі арқылы екі көпбұрышқа бөлінсін:
АВСКР (M1) және АВЕД (M2).
Әр

көпбұрыштың

ішкі

және

шегіндегі

түйіндерін есептеймін. Егер түйін М фигурасына
тиісті және АВ кесіндісіне тиісті емес болса
(мысалы, Н нүктесі), онда ол не M1 үшін, не M2
үшін ішкі түйін болып саналады.
АВ кесіндісіне жатпайтын (мысалы, D нүктесі)
кез-келген түйіннің «үлесі» бірдей болады: ол 0,5ке тең.
АВ кесіндісіне жататын түйіндерді

қарастыру ғана қалды. Егер мұндай

түйіндер А мен В нүктелеріне (мысалы, О нүктесі), онда М үшін ішкі
түйіндерге жатады, ал M1 және M2

көпбұрыштары үшін шекарасындағы

түйіндер болып саналады. Сондықтан оның SM үшін «үлесі» 1-ге тең.

23

2.3. Пик формуласының математикалық сауаттылықтан ҰБТ
есептерін шешуде қолданылуы
Жаңа форматтағы ҰБТ тапсырмаларында, яғни математикалық сауаттылықта
тор көзде бейнеленген көпбұрыштардың ауданын табуға көптеген есептер
келеді.
Мысалы:

Мысалдар: Көпбұрыштардың ауданын тап.
1-тәсіл. Үшбұрыштың ауданын табу
формуласын қолдану:
1
1
1
4  9  (  3  3   6  4   1  9)  15(см 2 ).
2
2
2

2-тәсіл. Пик формуласын қолдану І=13,
Ш=6, S = 13 + 6 : 2 – 1 = 15 (см2)

24

І=8, Ш=6, S = 8 + 6 : 2 – 1 = 10 (см2)

1)

І= 9, Ш = 8,
S = 9 + 8 : 2 – 1 = 12 (см2)

2) І= 8, Ш = 5,
S = 9 + 5 : 2 – 1 = 10,5 (см2)

3) І= 6, Ш= 5,
S = 6 + 5 : 2 – 1 = 7,5 (см2)

25

4) І = 10, Ш = 7,
S = 10 + 7 : 2 – 1 = 12,5 (см2)

5)

І = 9, Ш = 4,

S = 9 + 4 : 2 – 1 = 10 (см2)

6)

І = 5, Ш = 4,

S = 5 + 4 : 2 – 1 = 6 (см2)

7) І = 9, Ш = 12,
S = 9 + 12 : 2 – 1 = 14 (см2)

26

8) І = 8, Ш = 6,
S = 8 + 6 : 2 – 1 = 10 (см2)

9)

І = 9, Ш = 8,

S = 9 + 8 : 2 – 1 = 12 (см2)

10) І = 22, Ш = 12,
S = 22 + 12 : 2 – 1 = 26 (см2)

11)
І = 10, Ш = 7,
S = 10 + 7 : 2 – 1 = 12,5 (см2)

27

12) І = 19, Ш = 11,
S = 19 + 11 : 2 – 1 = 23,5 (см2)

13) І = 27, Ш = 8,
S = 27 + 8 : 2 – 1 = 30 (см2)

1

14)

І = 25, Ш = 13,

S = 25 + 13 : 2 – 1 = 30,5 (см2)

15)

І = 10, Ш = 7,

S = 10 + 7 : 2 – 1 = 12,5 (см2)

28

16) І = 26, Ш = 5,
S = 26 + 5:2 – 1 = 27,5 (см2)

17)

І = 10, Ш = 4,

S = 10 + 4:2 – 1 = 11 (см2)

18)

І = 21, Ш = 6,

S = 21 + 6 : 2 – 1 = 23 (см2)

29

Қосымша материалдар
№1 тест. Пайызға қатысты есептер
1. Құлпынайдың 6 %-ы қант. 35 кг құлпынайда неше кг қант бар?
A) 1,5 кг

B) 1,8 кг

C) 2,1 кг

D) 2,4 кг

E) 3кг

2. Теңіз суының 95 %-ы ғана су, қалғаны тұз. 6 тонна теңіз суында қанша тұз
бар?
A) 150 кг

B) 180 кг

C) 210 кг

D) 240 кг

E) 300 кг

3. Турист барлық жолдың 90%-ы болатын 27 км жол жүрді. Барлық жолдың
ұзындығы неге тең?
A) 15 км

B) 15 км

C) 24 км

D) 30 км

E)36 км

4. Турист қайықпен 504 км жүзді. Бұл барлық жолдың 36-ы % болса,
барлық жолды табыңыз.
A) 181,44 км
D) 1500 км

B) 1208 км

C) 1608 км

E) 1400 км

5. Кітаптың бағасы 22%-ке арзандаған соң 156 теңге болды. Кітаптың
алғашқы бағасы қанша?
A) 178

B) 150

C) 200

D) 300

E) 195

6. Автомобиль багінің сыйымдылығы 40 л бензин. Жол жүрудің алдында бак
80% - ке толтырылды. Бензиннің 25%- і жолға жұмсалды. Сонда бакта қанша
бензин қалды?
A) 32 л

B) 24 л

C) 16 л

D) 30 л

E) 8 л

7. 2 a санының 3 %-інің 8 %-і a санының 5 %-інің неше процентін құрайды?
A) 9,6 % B) 2,4 % C) 6 % D) 4,8 % E) басқа жауап
8. Санжар бірінші жылы ағылшынша сөз қорын 20 %-ға жақсартты, ал келесі
жылы ағылшын сөздерін жаттауды қойды да, 20 %-ын ұмытты. Үшінші
жылы тілорталығына ағылшын тілі курсына барып, сөз қорын 50 %-ға
жақсартты. Санжардың сөз қоры бастапқымен салыстырғанда неше пайызға
өзгерді?
A) 28 % төмендеді B) 28 % жоғарылады
жоғарылады E) 45 % жоғарылады

30

C) 44 % төмендеді

D) 44 %

9. 80 дәптерді біріншісі екіншісінің 60 %-і болатындай етіп бөлді. Бірінші
бөліктегі дәптерлердің саны қанша?
A) 30

B) 50

C) 20

D) 40

E) 35

10. 40 %-і 40 санының 40 %-ін құрайтын санды табыңыз.
A) 40
B) 16 C) 64
D) 50
E) 80
11. 40 санының 40 %-ын құрайтын санды және пайда болған санның 40 %ын табыңыз.
A) 20 және 10

B) 20 және 8

D) 16 және 6

E) 16 және 6,4

C) 12 және 6,4

12. Шоқан, Бораш, Ғалым жидек жинады. Бораш Шоқанға қарағанда 20 %
артық, ал Ғалымнан 20 % кем жинады. Ғалымның жинаған жидегі
Шоқанның жинаған жидегінен қанша пайызға артық екенін табыңыз.
А) 50 %

B) 40 % C) 30 % D) басқа жауап
3
13. 400 санының
бөлігінің 40 %-ын табыңыз.
5

E) 20 %

A) 106
B) 108
C) 110
D) 118
E) 68
14. Дәптердің бағасы 40 тг. Бағасын 15 %-ке арттырғаннан кейін 548 теңгеге
неше дәптер сатып алуға болады?
A) 12

B) 10

C) 11

D) 13

E) 14

15. 30 %-ы 60 санының 90 %-ын құрайтын санды табыңыз.
A) 162

B) 18

C) 16,2

D) 54

E) 180

31

№2 тест. Пайызға қатысты есептер
1. Қызанақтың бағасы тамыз айында 25 %-ғақымбаттады. Ал оның соңғы
бағасы қараша айында тағы да 40 %-ға қымбаттап, 140 тг болды. Қызанақтың
бастапқы бағасы неше теңге?
A) 85 тг

B) 80 тг

C) 75 тг

D) 90 тг

E) 60 тг

2. Сымның бөлігінен 20 %-ды, кейін қалғанының 40 %-ын кесіп алды.
Сымның неше пайызы қалды?
A) 36 %

B) 40 %

C) 48 %

D) 50 %

E) 56 %

3. Асыл тақтаға бірнеше тізбектес натурал сандарды жазды. Олардың
ішіндегі тақ сандардың пайызы қаншаға тең бола алмайды?
A) 40

B) 45

C) 48

D) 50

E) 60

4. Үш санның қосындысы 420-ға тең. Бірінші сан қосындының 60 %-ын,
екінші сан бірінші санның 25 %- ын құрайды. Үшінші санды табыңыз.
A) 85

B) 90

C) 95

D) 100

E) 105

5. Тауардың бағасы қаңтар айында 10 % қымбаттап, ақпан айында 10 %
арзандады. Тауардың бағасы алғашқы бағадан қалай өзгерді?
A) Қымбаттайды

B) Арзандайды

C) Өзгермейді

D) 20 % өзгереді

E) Анықтау мүмкін емес

6. Ағаштың берілген массасының 20 %-інен қағаз дайындалады. Оқушының
бір дәптері орта есеппен 25 г, ал кітап одан 16 есе ауыр. Сыныпта 32
оқушының әрқайсысына 1 дәптерден және 1 кітаптан дайындау үшін
барлығы неше кг ағаш қажет?
А) 68 кг

В) 65 кг

С) 63 кг

D) 70 кг

E) 60 кг

7. Ағаштың берілген массасының 20 %-інен қағаз дайындалады. Оқушының
бір дәптері орта есеппен 30 г, ал кітап одан 15 есе ауыр. Сыныпта 28
оқушының әрқайсысына 1 дәптерден және 1 кітаптан дайындау үшін
барлығы неше кг ағаш қажет?
А) 65,2 кг

В) 60,8 кг

С) 63,5 кг D) 67,2 кг

E) 70,8 кг

8. Ағаштың берілген массасының 20 %-інен қағаз дайындалады. Оқушының
бір дәптері орта есеппен 30 г, ал кітап одан 16 есе ауыр. Сыныпта 30
оқушының әрқайсысына 1 дәптерден және 1 кітаптан дайындау үшін
барлығы неше кг ағаш қажет?
А) 67,2 кг

В) 70,8 кг

С) 75,2 кг

D) 70 кг
32

E) 76,5 кг