математика патшалық жол

МАТЕМАТИКАДАҒЫ ПАТШАЛЫҚ ЖОЛ

Бір ежелгі мәліметте Птолемей деген патшаның Евклидтен геометрияда жеңіл әрі қысқа жол бар ма екен деп сұрағанда, ғалым математикада патшалық жолдың жоқ екенін айтқан.

Шынымен де, геометрия – биік саты. Онымен білім шыңына жету үшін, алғашқы баспалдағынан соңғысына дейін түгел өту қажет. Бұл қиын жол, алайда Рене Декарт байқағандай, «дәлелі қаншалық қиынға соқса, соны ойлап тапқанға рахаты көп болмақшы». Математикаға құмар адамға ол ғажайып қырынан ашылады, сол арқылы ол өзіне қанат біткендей сезінеді. Алайда бұған дейін, әрине, білімнің ұзақ жолы өтілуі тиіс.

Математика шыңына жетуге бола ма? Болады! Математикада бір уақытта қаталдық та, сұлулық та және жеңілдік те болуы мүмкін. Бұған мысал келтірейік.

1.Кез келген квадраттық теңдеуді дискриминант арқылы шешуге болады. Бірақ олардың кейбірі, мысалға мына берілген квадраттық теңдеулер,Виет теоремасы арқылы шығарылады: х²-5х+6=0; х₁=2; х₂=3, себебі 2*3=6 және 2+3=5.

Мынадай теңдеудің де түбірлері оңай табылады: 2х² -3х+1=0. Байқасаңыз, оның соңғы коэффициенті бірге тең. Біз оны былай шығарамыз. Бастапқы және соңғы коэффициенттерінің орындарын ауыстырып, х² -3х+2=0 деген теңдеуді аламыз. Виет теоремасы бойынша оның түбірлері 1 мен 2-ге тең. Енді табылған сандарға кері сандарды табамыз: . 1 мен 0,5 сандары- берілген теңдеудің түбірлері.

Ал егер соңғы коэффициент -1-ге тең деп сұрасаңыз?

Мәселен, 8 . Бұның жауабы: үшінші және бірінші коэффициенттердің орындарын ауыстырамыз, одан кейін екі бөлігін де -1-ге көбейтеміз:

- бұдан алатынымыз ал берілген теңдеу түбірлері мына сандар: .

Теорема. Егер нөлдік емес сандар , онда оларға кері сандар квадраттық теңдеудің түбірлері болып табылады (алғашқы және соңғы коэффициенттерінің орындары ауыстырылған).

Дәлелдеу. Виет теоремасы бойынша

. Бірінші қатынасты екіншісіне бөлсек, ал екіншіні оған кері түріне ауыстырсақ, , дәлелдеудің дұрыстығын көрсететін қатынастарды аламыз

2. Алгебра курсынан теңдеулер жүйесінің орын ауыстыру арқылы шешілуі белгілі; кейде толық бір бетті жазып алғаннан соң ғана жауабын алады. Бұл тәсіл универсальді және кез келген жүйелерге келе береді. Және мұнда да «патшалық жолдар» болады, алайда теңдеулер жүйесінің кей түрлеріне ғана, мысалы симметириялы теңдеулері бар жүйелерге(х пен у-ке байланысты теңдеулер симметриялы деп аталады, егер х-ті у-ке айналдырса, ал у-ті х-ке айналдыру мүмкін емес).

х+у=7

ху=10 жүйесін шешейік.

Бұл жүйенің әр теңдеуі симметриялы, оған қоса біреуі-сызықтық, екіншісі- екінші дәрежелі, соған орай теңдеудің екі шешу жолдары бар. Бұған тағы да Виет теоремасы көмектеседі: х пен у-тің көбейтіндісі 10-ға тең, ал қосындысы 7-ге, яғни шешуінің бірі – (2;5) жұбы. Теңдеу симметриялы болған соң, (5;2) жұбы да берілген теңдеудің шешімі болады.

3. Теңдеулерді шешуде мына теореманың маңызы болуы мүмкін: егер х=1 f(х) теңдеуінің түбірі болса, онда f(х) көпмүшесінің коэффициенттерінің қосындысы нөлге тең .

Дәлелдеу. х=1-ге тең болғанда, .. =0 теңдеуі дұрыс теңдікке айналады:

яғни, көпмүше коэффициенттерінің қосындысы нөлге тең. Теорема дәлелденді.

Кері теорема да әділ: Егер f(х) көпмүшесінің коэффициенттерінің қосындысы нөлге тең болса, онда х=1 f(х) =0 теңдеуінің түбірі болады, х³ +79х-80=0 теңдеуін шешейік. Бұл теңдеудің коэффициенттері-нің қосындысы нөлге тең, сондықтан теңдеудің түбірі-1. Өзге түбірлері жоқ. Теңдеуді х³ =-79х+80 түрінде жазып алайық; оның сол жағында- өспелі у= функциясы, оң жағында- кемімелі у=-79х+80 функциясы, сондықтан олардың графиктері бір реттен артық киылыса алмайды. Сонымен, х=1.

4. Сандарды калькулятор да көбейте алалы. Ал егер ол жаныңда болмаса ше? Бағандап көбейтесің бе? Ал ойша шығарсаң қайтеді? Бұл сенің миыңа пайдалы ғой!

345*11=3795. Соңғы сан –бес, оның алдында 5+4=9, одан кейін 4+3=7, ақырында алғашқы сан- 3.

739*11=8129. Соңғы саны- 9, оның алдында 9+3=12, 2-ні жазып, ойда 1-ді сақтаймыз; кейін 7+3=10(ойдағы 1), шығатыны -11, 1-ді жазып, 1-ді ойда сақтаймыз; алғашқы сан -7+1(мұны ойда есептейміз) =8.

45²=2025. 4*4+4=20, соңында- 25.

105² =11025. 10*10+10=110, соңында- 25.

16*25 =(4*4)*25=4*(4*25) =4*100=400 немесе

16*25= 16*100: 4 400.

320*19=320*(20-1) =320*20-320 =6400-320 =6080.

5. Мынадай теорема бар: Егер төртбұрыш шеңберге сырттай сызылған болса, онда оның қарама-қарсы қабырғаларының қосындысы өзара тең. Атақты педагог В.Ф.Шаталов оны былай дәлелдеген:

Дәлелдеу. Шеңберге қарай бір нүктеден жүргізілген жанамалардың бөліктері тең. Жанамалардың тең бөліктері суретте В, Е , Р және А әріптерімен белгіленген. Онда сырттай сызылған төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғаларының қосындысы ВЕРА мен ВЕРА -ны құрайды. ВЕРА = ВЕРА Теорема дәлелденді.

Әдемі емес пе!

Галилео Галилейдің пікірі бойынша, «геометрия - біздің ойлау қабілетімізді дамытатын құрал болып табылады, дұрыс ойлауға мүмкіндік береді». Бұл сөздер бүкіл математикаға байланыстырып айтуға болады. Ендеше, терең әрі рационалды ойлау қабілетін қалыптастыруға тырысыңдар!

Әдебиеттер

1. Т. Мясникова, «Математика» «Первое сентября», №10, 2005 г.

2. Н. Лэнгдон, Ч. Снейп, С математикой в путь «Педагогика», 1987 г.

3. А.Әбілқасымов және И. Бекбоев, Алгебра (8 сынып оқулығы).